Задача № 54. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}\right].\]
Решение.
Обозначим выражение из задачи № 53 через \(f(n)\):
\[f(n) = \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}.\]
Далее,
\[8f(2n) = 8\cdot \left[\frac{1^2}{(2n)^3} + \frac{2^2}{(2n)^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{(2n)^3}\right] = \\ = 8\cdot \frac{1^2 + 2^2 + ... + (2n-1)^2}{8n^3} = \\ = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2 + (2n-1)^2}{n^3}.\]
\[4f(n) = 4\cdot \left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \frac{4\cdot(1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2)}{n^3} = \\ = \frac{2^2\cdot 1^2 + 2^2\cdot 2^2 + ... + 2^2\cdot (n-1)^2}{n^3} = \\ = \frac{2^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2}{n^3}.\]
Отсюда,
\[8f(2n) - 4f(n) = \\ = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2 + (2n-1)^2}{n^3} - \\ - \frac{2^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2}{n^3} = \\ = \frac{1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2}{n^3} = \frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}.\]
Таким образом,
\[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3} = 8f(2n) - 4f(n).\]
Учитывая (см. задачу № 53), что
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \frac{1}{3}.\]
получаем искомый предел последовательности
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[8f(2n) - 4f(n)\right] = 8\cdot\frac{1}{3} - 4\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{3}.\]
Ответ. \(\frac{4}{3}\).
