Задача № 51. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n-1}{n^2} \right).\]

Решение.

Учитывая, что

\(1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}\), где \(k\) - натуральное число,

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0\),

получаем предел последовательности

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n-1}{n^2} \right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1 + 2 + ... + (n-1)}{n^2} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n-1)n}{2n^2} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n}{2n^2} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.\]

Ответ. \(\frac{1}{2}\).