Задача № 152. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \sqrt{3x - x^3}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, хотя можно извлечь квадратный корень из 0.

Таким образом, подкоренное выражение должно быть больше или равным 0:

\(3x - x^3 \geq 0\)

Решим следующее уравнение:

\(x^3 - 3x = 0\)

\(x(x^2 - 3) = 0\)

\(x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0\)

Имеем следующие корни:

\(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{3}\), \(x_3 = -\sqrt{3}\).

Следовательно, получаем следующие интервалы:

\((-\infty; - \sqrt{3})\), \((- \sqrt{3}; 0)\), \((0; \sqrt{3})\), \((\sqrt{3}; +\infty)\).

Значение подкоренного выражения на интервале \((-\infty; - \sqrt{3})\) положительно.

Значение подкоренного выражения на интервале \((- \sqrt{3}; 0)\) отрицательно.

Значение подкоренного выражения на интервале \((0; \sqrt{3})\) положительно.

Значение подкоренного выражения на интервале \((\sqrt{3}; +\infty)\) отрицательно.

Следовательно, областью определения заданной функции является объединение \((-\infty; - \sqrt{3}]\) и \([0; \sqrt{3}]\):

\((-\infty; - \sqrt{3}] \cup [0; \sqrt{3}]\)

Ответ. \(D(f) = (-\infty; - \sqrt{3}] \cup [0; \sqrt{3}]\).