Задача № 53. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right].\]
Решение.
Применяя метод математической индукции, можно доказать, что для любого натурального числа k справедливо следующее равенство:
\[1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.\]
Следовательно,
\[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3} = \frac{1^2+2^2+...+(n-1)^2}{n^3} = \\ = \frac{(n-1)\cdot n\cdot (2n-1)}{6n^3} = \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{2n-1}{n} = \\ = \frac{1}{6}\cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdot \left(2 - \frac{1}{n}\right).\]
Учитывая, что
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0,\]
получаем искомый предел последовательности
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{6}\cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdot \left(2 - \frac{1}{n}\right) = \\ = \frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2 = \frac{1}{3}.\]
Ответ. \(\frac{1}{3}\).
