Задача № 413. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^5 - (1+5x)}{x^2 + x^5}.\]

Решение.

\[(1+x)^5 = C_5^0\cdot 1^5\cdot x^0 + C_5^1\cdot 1^4\cdot x^1 + C_5^2\cdot 1^3\cdot x^2 + \\ + C_5^3\cdot 1^2\cdot x^3 + C_5^4\cdot 1^1\cdot x^4 + C_5^5\cdot 1^0\cdot x^5 = \\ = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5.\]

Отсюда,

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^5 - (1+5x)}{x^2 + x^5} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5}{x^2 + x^5} = \\ = \lim\limits_{x\to 0}\frac{10 + 10x + 5x^2 + x^3}{1 + x^3} = \frac{10 + 10\cdot 0 + 5\cdot 0^2 + 0^3}{1 + 0^3} = 10.\]

Ответ. 10.