Задача № 161. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \lg\left[\cos(\lg x)\right].\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).

Область определения функции \(y = \arccos x\) есть отрезок \([-1, 1]\).

Таким образом, получаем следующее неравенство:

\[\cos(\lg x) > 0.\]

Функция \(y = \cos x\) положительна в следующих интервалах:

\[\left(-\frac{1}{2} + 2k\right)\pi < x < \left(\frac{1}{2} + 2k\right)\pi \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...).\]

Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось следующее двойное неравенство:

\[\left(-\frac{1}{2} + 2k\right)\pi < \lg x < \left(\frac{1}{2} + 2k\right)\pi \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...).\]

Отсюда следует, что область определения заданной функции состоит из объединения следующих промежутков:

\[10^{\left(-\frac{1}{2} + 2k\right)\pi} < x < 10^{\left(\frac{1}{2} + 2k\right)\pi} \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...).\]

Ответ. \(10^{\left(-\frac{1}{2} + 2k\right)\pi} < x < 10^{\left(\frac{1}{2} + 2k\right)\pi} \; (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...).\)