Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.
Саволи 1. Вектор чист? Векторҳо чи тавр ишорат карда мешавад?
Ҷавоб. Порчаи самтдор вектор номида мешавад (расми 211). Самти вектор бо нишони ибтидо ва интиҳои он муайян мешавад. Самти вектор дар нақша бо тирча нишона карда мешавад. Барои ишорати векторҳо ҳарфҳои лотинии хурд \(a, b, c\)-ро истифода мекунем. Векторро бо нишони ибтидо ва интиҳояш ҳам ишорат менамоянд. Баъзан ба ҷои калимаи "вектор" дар болои ишорати ҳарфии вектор тирча ё хатча гузошта мешавад. Вектори расми 211-ро ин тавр ишорат кардан мумкин аст:
\[\overline{a}, \vec{a}\quad \quad ё \quad \overline{AB}, \vec{AB}\]
Саволи 2. Чӣ гуна векторҳо векторҳои самташон якхела (самташон муқобил) номида мешаванд?
Ҷавоб. Агар нимхатҳои рости АВ ва СD самти якхела дошта бошанд, векторҳои АВ ва СD векторҳои самташон якхела номида мешаванд. Агар нимхатҳои рости АВ ва СD самти муқобил дошта бошанд, векторҳои АВ ва СD векторҳои самташон муқобил номида мешаванд. Дар расми 212 векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) векторҳои самташон якхела ва векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{c}\) векторҳои самташон муқобил номида мешаванд.
Саволи 3. Бузургии мутлақи вектор чист?
Ҷавоб. Дарозии порча ки векторро тасвир мекунад, бузургии мутлақ (ё модул)-и вектор номида мешавад. Бузургии мутлақи вектори а бо \(\overline{a}\) бо\(|a|\) ишорат карда мешавад.
Саволи 4. Вектори сифрӣ чист?
Ҷавоб. Ибтидои вектор бо интиҳои вектор ҳамҷоя шуда метавонад. Чунин векторро вектори сифрӣ меноманд.
Саволи 5. Чӣ гуна векторҳоро векторҳои баробар меноманд?
Ҷавоб. Агар ду вектор дар натиҷаи паралелкӯчонӣ ҳамҷоя шаванд, онҳоро векторҳои баробар меноманд. Ин чунин маъно дорад: параллелкӯчоние ҳаст, ки он ибтидо ва интиҳои як векторро мувофиқан ба ибтидо ва интиҳои вектори дигар табдил медиҳад.
Саволи 6. Исбот кунед: векторҳои баробар самти якхела доранд ва бо бузургии мутлақашон баробаранд. Ва баръакс векторҳои самташон якхелае, ки бо бузургии мутлақашон баробаранд, баробар мебошанд.
Ҷавоб. Аз таърифи баробарии векторҳо натиҷа мебарояд, ки векторҳои баробар самти якхела доранд ва бо бузургии мутлақашон баробаранд.
Баръакс, агар векторҳо самти якхела дошта бошанд ва бо бузургии мутлақашон баробар бошанд, он гоҳ онҳо баробаранд.
Ҳақиқатан, бигзор \(\overline{AB}\) ва \(\overline{CD}\) векторҳои самташон якхела бошанд ва бо бузургии мутлақашон баробар бошанд (расми 213). Параллелкӯчоние, ки нуқтаи \(C\)-ро ба нуқтаи \(A\) табдил медиҳад, нимхати рости \(CD\)-ро бо нимхати рости \(AB\) ҳамҷоя мекунад, чунки онҳо самти якхела доранд. Ва азбаски порчаҳои \(AB\) ва \(CD\) баробаранд, пас нуқтаи \(D\) бо нуқтаи \(B\) ҳамҷоя мешавад, яъне параллелкӯчонӣ вектори \(\overline{CD}\)-ро ба вектори \(\overline{AB}\) табдил медиҳад. Пас векторҳои \(\overline{AB}\) ва \(\overline{CD}\) баробар мебошанд. Ҳаминро исбот кардан лозим буд.
Саволи 7. Исбот кунед: аз нуқтаи дилхоҳ вектори ба вектори додашуда баробарро кашидан мумкин аст, ва фақат якто.
Ҷавоб. Бигзор \(\overline{a}\) вектор ва \(A\) нуқтаи дилхоҳ бошад. Он гоҳ аз нуқтаи \(A\) фақат як вектори \(\overline{a}'\)-и ба вектори \(\overline{a}\) баробарро ҷудо кардан мумкин аст.
Ҳақиқатан, параллелкӯчонии ягонае ҳаст, ки дар натиҷаи он ибтидои вектори \(\overline{a}\) ба нуқтаи \(A\) табдил мешавад. Векторе, ки вектори \(\overline{a}\) ба он табдил мешавад, вектори \(\overline{a}'\) мешавад.
Саволи 8. Координатаҳои вектор чист? Бузургии мутлақи вектори координатаҳояш \(a_1, a_2\) ба чӣ баробар аст?
Ҷавоб. Фарз мекунем, ки вектори \(\overline{a}\) дода шудааст ва нуқтаи \(A_1(x_1,y_1)\) ибтидо ва нуқтаи \(A_2(x_2,y_2)\) интиҳои вектор мебошад. Ададҳои \(a_1=x_2-x_1\), \(a_2=y_2-y_1\)-ро координатаҳои вектори \(a\) меномем. Координатаҳои векторро дар паҳлӯи рости ишорати ҳарфи вектор, дар ҳамин маврид \(\overline{a}(a_1, a_2)\) ё ба намуди \((a_1, a_2)\) менависем. Аз формулае, ки масофаи байни ду нуқтаро ба воситаи координатаҳояш ифода мекунад, натиҷа мебарояд, ки бузургии мутлақи вектори координатаҳояшон \(a_1, a_2\) ба \(\sqrt{a_1+a_2}\) баробар аст.
Саволи 9. Исбот кунед: векторҳои баробар мувофиқан координатаҳои баробар доранд ва векторҳое ,ки координатаҳояшон мувофикан баробаранд, баробар мебошанд.
Ҷавоб. Векторҳои баробар координатаҳои мувофиқи баробар доранд. Ва, баръакс агар дар векторҳо координатаҳои мувофиқ баробар бошанд, он гоҳ векторҳо баробаранд.
Ҳақиқатан, фарз мекунем, ки \(A_1(x_1; y_1)\) ибтидо ва \(A_2(x_2; y_2)\) интиҳои вектори \(\overline{a}\) мебошанд. Азбаски вектори ба он баробар \(\overline{a}'\) дар натиҷаи параллелкӯчонии \(\overline{a}\) ҳосил мешавад, пас, \(A_1' (x_1+c; y_1+d)\) ибтидо ва \(A_2' (x_2+c; y_2+d)\) мувофиқан ибтидо ва интиҳои \(\overline{a}'\) мебошанд. Аз ин ҷо намоён, ки ҳар ду вектори \(\overline{a}\) ва \(\overline{a}'\) якхел координатаҳо \(x_2-x_1\), \( y_2-y_1\) доранд.
Акнун тасдиқоти баръаксро исбот мекунем. Фарз мекунем, ки координатаҳои мувофиқи векторҳо \(\overline{A_1A_2}\), ва \(\overline{A_1'A_2'}\) баробаранд. Исбот мекунем, ки ин векторҳо баробаранд.
Бигзор \(x_1'\) ва \(y_1'\) координатаҳои нуқтаи \(A_1\) ва \(x_2, y_2\) координатаҳои нуқтаи \(А_2'\) бошанд. Мувофиқи шарти теорема \(x_1-x_2 = x_2' – x_1', y_1-y_2 = y_1'-y_2'\), Аз ин ҷо \(x_2'=x_2+x_1'-x_1, y_2'=y_2+y_1'-y_1\).
Параллелкӯчоние, ки бо формулаҳои \(x'=x+x_1'-x_1, y'=y+y_1'-y_1\) дода шудааст, нуқтаи \(A_1\)-ро ба нуқтаи \(A_1'\) ва нуқтаи \(A_2\)-ро ба нуқтаи \(A_1'\) табдил медиҳад, яъне векторҳои \(\overline{A_1A_2}\) ва \(\overline{A_1'A_2'}\) баробаранд. Теорема исбот шуд.
Саволи 10. Таърифи ҷамъи векторҳоро гӯед.
Ҷавоб. Ҳосили ҷамъи векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\)-и координатаҳояшон \(a_1,a_2\) ва \(b_1,b_2\) гуфта вектори \(\overline{c}\)-и координатаҳояш \(a_1+b_1, a_2+b_2\)-ро меноманд, яъне
\[\overline{a}(a_1;a_2) + \overline{b}(b_1;b_2)= \overline{c}(a_1+b_1;a_2+b_2).\]
Саволи 11. Исбот кунед, ки барои векторҳоро дилхоҳи \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\)
\[\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}.\]
Ҷавоб. Дар ҳақиқат,
\begin{multline}
\overline{a}(a_1;a_2) + \overline{b}(b_1;b_2) = \overline{c}(a_1+b_1;a_2+b_2) = \\
= \overline{c}(b_1+ a_1;b_2+a_2) = \overline{b}(b_1;b_2) + \overline{a}(a_1;a_2).
\end{multline}
Саволи 12. Исбот кунед, ки барои се вектори дилхоҳи \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\)
\[\overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}) = (\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c}. \]
Ҷавоб. Дар ҳақиқат, барои векторҳои дилхоҳи \(\overline{a}(a_1;a_2), \overline{b}(b_1;b_2), \overline{c}(c_1;c_2)\) аз як тараф ҷой дорад:
\begin{multline}
\overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}) = \overline{(a_1;a_2)} + (\overline{(b_1;b_2)} + \overline{(c_1;c_2)}) = \\
= \overline{(a_1;a_2)} + \overline{(b_1 + c_1;b_2 + c_2)} = \overline{(a_1 + b_1 + c_1;a_2 + b_2 + c_2)}.
\end{multline}
Аз тарафи дигар:
\begin{multline}
(\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c} = (\overline{(a_1;a_2)} + \overline{(b_1;b_2)}) + \overline{(c_1;c_2)} = \\
= \overline{(a_1 + b_1;a_2 + b_2)} + \overline{(c_1;c_2)} = \overline{(a_1 + b_1 + c_1;a_2 + b_2 + c_2)}.
\end{multline}
Дар натиҷаи ҳар ду тарзи ҷамъ як вектори \(\overline{(a_1 + b_1 + c_1;a_2 + b_2 + c_2)}\) ҳосил мешавад.
Баробарӣ исбот шуд.
Саволи 13. Баробарии вектории \(\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}\)-ро исбот кунед.
Ҷавоб. Теорема. Нуқтаҳо \(A,B,C\) чи хеле ки бошанд, баробарии вектории
\[\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}\]
ҷой дорад.
Исбот. Фарз мекунем, ки \(A(x_1;y_1), B(x_2,y_2), C(x_3;y_3)\) нуқтаҳои додашуда мебошад (расми 215). Координатаҳои вектори \(\overline{AB}\): \(x_2 - x_1, y_2 - y_1\), координатаҳои вектори \(\overline{BC}\): \(x_3 - x_2, y_3 - y_2\). Пас, координатаҳои вектори \(\overline{AB + BC}\): \(x_3 - x_1, y_3 - y_1\). Ин аст координатаҳои вектори \(\overline{AC}\). Яъне, векторҳои \(\overline{AB + BC}\) ва \(\overline{AC}\) баробаранд.
Теорема исбот шуд.
