Вопрос 11. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
Пусть \(ABC\) - прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\). Проведем высоту \(CD\) из вершины прямого угла (рис. 243).
Треугольники \(ACD\) и \(CBD\) подобны: \(\triangle ACD \sim \triangle CBD\). У них равны острые углы при вершинах \(A\) и \(C\). Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:
\[\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD},\, или\, CD = \sqrt{AD\cdot BD}.\]
Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Вопрос 12. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Ответ. Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Пусть \(CD\) - биссектриса треугольника \(ABC\) (рис.244). Если треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса \(CD\) является и медианой.
Рассмотрим общий случай, когда \(AC \neq BC\). Опустим перпендикуляры \(AF\) и \(BE\) из вершин \(A\) и \(B\) на прямую \(CD\).
Прямоугольные треугольники \(ACF\) и \(BCE\) подобны, так как у них равны острые углы при вершине \(C\). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\[\frac{AC}{BC} = \frac{AF}{BE}.\]
Прямоугольные треугольники \(ADF\) и \(BDE\) тоже подобны. У них углы при вершине \(D\) равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\[\frac{AF}{BE} = \frac{AD}{BD}.\]
Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:
\[\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}\, или\, \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD},\]
т.е. отрезки \(AD\) и \(BD\) пропорциональны сторонам \(AC\) и \(BC\), что и требовалось доказать.
Вопрос 13. Что такое плоский угол?
Ответ. Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 245 заштрихован один из плоских углов со сторонами \(a\) и \(b\). Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной \(360\circ - \alpha\), где \(\alpha\) - градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 246).
Вопрос 14. Что такое центральный угол?
Ответ. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 247). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Вопрос 15. Какой угол называется вписанным в окружность?
Ответ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол \(BAC\) на рисунке 248 вписан в окружность. Его вершина \(A\) лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках \(B\) и \(C\). Говорят также, что угол \(A\) опирается на хорду \(BC\). Прямая \(BC\) разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку \(A\), называется центральным уголом, соответствующим данному вписанному углу.
Вопрос 16. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.
Ответ. Теорема 11.5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла..
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 249, а). Треугольник \(AOB\) равнобедренный, так как у него стороны \(OA\) и \(OB\) равны как радиусы. Поэтому углы \(A\) и \(B\) треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине \(O\), то угол \(B\) треугольника равен половине угла \(AOC\), что и требовалось доказать.
Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра \(BD\) (рис. 249, б, в).
В случае, представленном на рисунке 249, б,
\[\angle ABC = \angle CBD + \angle ABD = \\ = \frac{1}{2}\angle COD + \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC.\]
В случае, представленном на рисунке 249, в,
\[\angle ABC = \angle CBD - \angle ABD = \\ = \frac{1}{2}\angle COD - \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC.\]
Теорема доказана полностью.
Вопрос 17. Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.
Ответ. Если хорды \(AB\) и \(CD\) окружности пересекаются в точке \(S\), то
\[AS \cdot BS = CS \cdot DS.\]
Докажем сначала, что треугольники \(ASD\) и \(CSB\) подобны (рис. 251). Вписанные углы \(DCB\) и \(DAB\) равны по следствию из теоремы 11.5. Углы \(ASD\) и \(BSC\) равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники \(ASD\) и \(CSB\) подобны.
Из подобия треугольников следует пропорция
\[\frac{DS}{BS} = \frac{AS}{CS}.\]
Отсюда
\[AS \cdot BS = CS \cdot DS,\]
что и требовалось доказать.
Если из точки \(P\) к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках \(A,\, B\) и \(C,\, D\) соответственно, то
\[AP \cdot BP = CP \cdot DP.\]
Пусть точки \(A\) и \(C\) - ближайшие к точке \(P\) точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники \(PAD\) и \(PCB\) подобны. У них угол при вершине \(P\) общий, а углы при вершинах \(B\) и \(D\) равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция
\[\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}.\]
Отсюда \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\), что и требовалось доказать.
