Масъалаи № 153. Соҳаи муайянӣ (ё ки соҳаи мавҷудият)-и функсияи зерин ёфта шавад:

\[y = (x-2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.\]

Ҳал.

\(1^\circ\). Мафҳуми функсия. Тағйирёбандаи \(y\) функсияи якқиматаи \(f\) аз \(x\) дар соҳаи тағйирёбии \(X=\{x\}\) номида мешавад, агар ба ҳар як қимати \(x\in X\) як қимати муайяни ҳақиқии \(y = f(x)\), ки ба маҷмӯи \(Y=\{y\}\) тааллуқ дорад, мувофиқ гузошта шавад.

Маҷмӯи \(X\) соҳаи муайянӣ ё ки соҳаи мавҷудияти функсияи \(f(x)\) номида мешавад; Маҷмӯи \(Y\) маҷмӯи қиматҳои ин функсия номида мешавад.

Аз адади манфӣ решаи квадратӣ гирифта намешавад, гарчанде ки аз 0 решаи квадратӣ гирифтан мумкин аст.

Бо назардошти он ки

1) ифодаи таҳти реша бояд, ки ғайриманфӣ бошад,

2) тақсим ба 0 (нол, сифр) муайян нест,

нобаробарии зеринро ҳосил мекунем

\[\frac{1+x}{1-x} \geq 0.\]

Нулҳои сурат ва махраҷи ифодаи таҳти реша бударо меёбем:

\(1 + x = 0 \implies x = -1\),

\(1 - x = 0 \implies x = 1\).

Решаҳои зеринро дорем:

\(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).

Ҳамин тавр, фосилаҳои зеринро пайдо мекунем:

\((-\infty; -1)\), \((-1; 1)\), \((1; +\infty)\).

Қимати ифодаи таҳти реша дар интервали \((-\infty; -1)\) манфӣ аст.

Қимати ифодаи таҳти реша дар интервали \((-1; 1)\) мусбат аст.

Қимати ифодаи таҳти реша дар интервали \((1; +\infty)\) манфӣ аст.

Ҳалли нобаробарӣ фосилаи \([-1; 1)\) мешавад.

Адади 1 ба фосила дохил нашудааст, чунки ҳангоми \(x = 1\) будан махрачи касри \(\frac{1+x}{1-x}\) ба 0 баробар мешавад.

Пас, соҳаи муайянии функсияи додашуда фосилаи \([-1; 1)\) мебошад.

Ҷавоб. \(D(f) = [-1; 1)\).