Масъалаи № 43. в) Исбот карда шавад, ки пайдарпаии \(x_n = \lg(\lg n)\) \((n \geq 2)\) ҳудуди беохир дорад ҳангоми \(n \rightarrow \infty\) (яъне беохир калон аст), тавассути барои дилхоҳ адади \(E > 0\) муайян кардани чунин адади \(N = N(E)\), ки \(|x_n| > E\) ҳангоми \(n > N\) будан.
Ҷадвали зерин пур карда шавад:
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) |
Ҳал.
\(|x_n| = |\lg(\lg n)| = \lg(\lg n)\) при \(n \geq 10\).
Бигзор адади натуралии \(N\) чунин бошад, ки барои адади додашудаи \(E > 0\) нобаробарии зерин иҷро шавад:
\(\lg(\lg N) \geq E\).
\(10^{\lg(\lg N)} \geq 10^E\).
\(\lg N \geq 10^E\).
\(10^{\lg N} \geq 10^{(10^E)}\).
\(N \geq 10^{(10^E)}\).
Пас, агар \(N = \left[ 10^{(10^E)} \right]\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро шавад:
\(|x_n| = \lg(\lg n) > E\).
Ин чунин маъно дорад, ки пайдарпаии \(x_n = \lg(\lg n)\) \((n \geq 2)\) ҳудуди беохир дорад ҳангоми \(n \rightarrow \infty\) (яъне беохир калон аст).
1) Агар \(E = 10\) бошад, онгоҳ
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{10})}\).
Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{10})}\)
\(|x_n| > 10\)
мешавад.
2) Агар \(E = 100\) бошад, онгоҳ
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{100})}\).
Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{100})}\)
\(|x_n| > 100\)
мешавад.
3) Агар \(E = 1000\) бошад, онгоҳ
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{1000})}\).
Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{1000})}\)
\(|x_n| > 1000\)
мешавад.
4) Агар \(E = 10000\) бошад, онгоҳ
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{10000})}\).
Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{10000})}\)
\(|x_n| > 10000\)
мешавад.
Ҷадвалро пур мекунем:
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) | \(10^{(10^{10})}\) | \(10^{(10^{100})}\) | \(10^{(10^{1000})}\) | \(10^{(10^{10000})}\) |
