Масъалаи № 42. г) Исбот карда шавад, ки \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад), тавассути ба ҳаргуна адади \(\varepsilon > 0\) мувофиқ гузоштани адади \(N = N(\varepsilon)\), ки \(|x_n| < \varepsilon\) ҳангоми \(n > N\), агар

г) \(x_n = (-1)^n\cdot 0,999^n\).

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

Ҳалли г).

\(|x_n| = |(-1)^n\cdot 0,999^n| = 0,999^n\).

Бигзор адади натуралии \(N\) чунин бошад, ки барои адади додашудаи \(\varepsilon > 0\)

\(0,999^N < \varepsilon\)

\(\lg 0,999^N < \lg\varepsilon\)

\(N\lg 0,999 < \lg\varepsilon\).

Азбаски

\(\lg 0,999 = \log_{10}0,999 \approx -0,0004 < 0\),

пас

\(N > \frac{\lg\varepsilon}{\lg 0,999} \approx \frac{\lg\varepsilon}{-0,0004} = 2500\cdot (-1)\cdot \lg\varepsilon = 2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\).

Аз ин ҷо

\(N > 2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\).

Пас, агар \(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралӣ \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро мешавад:

\(|x_n| = 0,999^n < \varepsilon\).

Бигзор \(\varepsilon > 0\) ва \(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\) бошад. Пас

\(|x_n| = 0,999^n < \varepsilon\),

ҳангоми \(n > N\).

Ин чунин маъно дорад, ки пайдарпаии \(x_n = (-1)\cdot 0,999^n\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудудаш ба 0 баробар аст).

1) Агар \(\varepsilon = 0,1\) бошад, онгоҳ

\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,1}\right\rceil = 2500\).

Барои дилхоҳ адади \(n > 2500\)

\(|x_n| < 0,1\)

мешавад.

2) Агар \(\varepsilon = 0,001\) бошад, онгоҳ

\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,001}\right\rceil = 7500\).

Барои дилхоҳ адади \(n > 7500\)

\(|x_n| < 0,001\)

мешавад.

3) Агар адади \(\varepsilon = 0,0001\) бошад, онгоҳ

\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,0001}\right\rceil = 10000\).

Барои дилхоҳ адади \(n > 10000\)

\(|x_n| < 0,0001\)

мешавад.

Ҷадвалро пур мекунем: