Масъалаи № 42. в) Исбот карда шавад, ки \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад), тавассути ба ҳаргуна адади \(\varepsilon > 0\) мувофиқ гузоштани адади \(N = N(\varepsilon)\), ки \(|x_n| < \varepsilon\) ҳангоми \(n > N\), агар

в) \(x_n = \frac{1}{n!}\).

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

Ҳалли в).

Барои дилхоҳ адади натуралии \(n > 0\) нобаробари зерин ҷой дорад:

\( 2^n \leq n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\, ... \).

Аз ин ҷо

\(|x_n| = \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^n}\)

барои дилхоҳ адади натуралии \(n > 0\).

Яъне, агар адади \(N = N(\varepsilon)\) чунин бошад, ки барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро мешавад:

\(\frac{1}{2^n} < \varepsilon\),

пас барои ин адади натуралии \(n\) инчунин нобаробарии зерин иҷро мешавад:

\((1)\quad |x_n| = \frac{1}{n!} < \varepsilon\).

Бигзор адади натуралии \(N\) чунин бошад, ки

\(\frac{1}{2^N} \leq \varepsilon\).

Аз ин ҷо

\(\frac{1}{\varepsilon} \leq 2^N\)

\(N \geq \log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\).

Пас, агар \(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии (1) иҷро мешавад.

Бигзор \(\varepsilon > 0\) и \(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil\), пас

\(|x_n| = \frac{1}{n!} < \varepsilon\),

ҳангоми \(n > N\).

Ин маъно онро дорад, ки пайдарпаии \(x_n = \frac{1}{n!}\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад).

1) Агар \(\varepsilon = 0,1\), онгоҳ

\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,1}\right)\right\rceil = 4 \).

Барои дилхоҳ адади \(n > 4\)

\(|x_n| < 0,1\)

мешавад.

2) Агар \(\varepsilon = 0,001\), онгоҳ

\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,001}\right)\right\rceil = 10 \).

Барои дилхоҳ адади \(n > 10\)

\(|x_n| < 0,001\)

мешавад.

3) Агар \(\varepsilon = 0,0001\), онгоҳ

\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,0001}\right)\right\rceil = 14 \).

Барои дилхоҳ адади \(n > 14\)

\(|x_n| < 0,0001\)

мешавад.

Ҷадвалро пур мекунем: