Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Теоремаи Ковалевская. Исботи ягонагии ҳал. Бигзор маҷмӯи функсияҳои дар атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) аналитикии \(u_1,...,u_N\) ҳалли системаи (2.1) буда, шартҳои аввалаи
\(\begin{equation}
(2.5)\qquad u_m(0,x_1,...,x_n)\equiv 0, \quad m=\overline{1,N}
\end{equation}\)
-ро қаноат кунонанд. Он гоҳ дар атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) функсияҳои \(u_1,...,u_N\)-ро дар намуди қаторҳои наздикшавандаи
\(\begin{equation}
(2.6)\qquad u_m(t,x_1,...,x_n)=\sum\limits_{(k_0,...,k_n)}A_{k_0 k_1...k_n}^{m}\cdot t^{k_0}x^{k_1}_1...x^{k_n}_n, \quad m=\overline{1,N}.
\end{equation}\)
тасвир кардан мумкин аст. Мувофиқи формулаи (2.4)
\[A_{k_0 k_1...k_n}^{(m)}=\frac{1}{k_0!k_1!...k_n!}\left(\frac{\partial^{k_0+k_1+...+k_n}u_m}{\partial t^{k_0}\partial x_1^{k_1}...\partial x_n^{k_n}}\right)_{t=0}, x_i=0, \quad i=\overline{1,n}\]
аст. Аз шартҳои аввалаи (2.5) бармеояд, ки ададҳои \(A_{0 k_1 ... k_n}\) ба нул баробар мебошанд. Аз ҳар ду тарафи муодилаҳои системаи (2.1) ҳосилаҳои
\[\frac{\partial^{k_1+...+k_n}}{\partial x_1^{k_1}...\partial x_n^{k_n}}\]
гирифта, \(t=0, x_1=0,...,x_n=0\) мегузорем. Он гоҳ дар тарафҳои чапи баробариҳо ададҳои \(A^{(m)}_{1 k_1 ... k_n}\) ҳосил шуда, дар тарафҳои рост ифодаҳои аз қиматҳои коэффитсиентҳою аъзоҳои озод ва ҳосилаҳои онҳо дар нуқтаи \((0,0,...,0)\) иборат буда, ҳосил мешаванд. Пас, ададҳои \(A^{(m)}_{1 k_1 ... k_n}\) аз рӯи коэффитсиентҳо ва аъзоҳои озоди система якқимата муайян карда мешаванд. Акнун аз ҳар ду тарафи муодилаҳои системаи (2.1) ҳосилаҳои
\[\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial^{k_1+...+k_n}}{\partial x_1^{k_1}...\partial x_n^{k_n}}\right)\]
гирифта, \(t=0, x_1=0,...,x_n=0\) мегузорем. Он гоҳ дар тарафҳои чап ададҳои \(A^{(m)}_{2 k_1 ... k_n}\) ҳосил мешаванд. Дар тарафҳои рост ифодаҳое ҳосил мешаванд, ки аз ададҳои \(A^{(m)}_{1 k_1 ... k_n}\), қиматҳои коэффитсиентҳою аъзоҳои озод ва ҳосилаҳояшон дар нуқтаи \((0,0,...,0)\) иборат мебошанд. Пас, ададҳои \(A^{(m)}_{2 k_1 ... k_n}\) низ аз рӯи коэффитсиентҳо ва аъзоҳои озоди система якқимата муайян карда мешаванд. Ин мулоҳизарониҳоро қадам ба қадам давом диҳем, аён мегардад, ки ҳамаи коэффитсиентҳои \(A^{(m)}_{k_0 k_1 ... k_n}\)-и қатори (2.6) тавассути функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) якқимата муайян карда мешаванд. Пас, функсияҳои \(u_1,...,u_N\) дар ягон атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) тавассути функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) якқимата муайян карда мешаванд. Ин нишон медиҳад, ки ҳалли аналитикии масъалаи Коши ягона аст.
