Мавод дар асоси китоби «Геометрия»-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Аломати якуми баробарии секунҷаҳоро исбот намоед. Ҳангоми исботи теоремаи 3.1 кадом аксиомаҳо истифода мешаванд?
Ҷавоб. Аломати якуми баробарии секунҷаҳо. Теоремаи 3.1 (аломати баробарии секунҷаҳо рӯи ду тараф ва кунҷи байни онҳо). Агар ду тараф ва кунҷи дар байни ин тарафҳо вокеъбудаи як секунҷа мувофиқан ба ду тараф ва кунҷи байни ин тарафҳо воқеъбудаи дигар секунҷа баробар бошанд, он гоҳ ин гуна секунҷаҳо баробаранд.
Исбот. Фарз мекунем, ки дар секунҷаҳои ABC ва A₁B₁C₁ \(\angle\)A = \(\angle\)A₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁(расми 44).

Расми 44

Исбот мекунем, ки секунҷаҳо баробаранд. Фарз мекунем, ки A₁B₂C₂ секунҷаи ба секунҷаи ABC баробар мебошад; дар он қуллаи B2 дар нури A₁B₁ воқеъ аст; қуллаи C2 бо қуллаи C₁ дар як нимҳамворӣ (нисбат ба хати рости A₁B₁) воқеъ аст (расми 45, а). Азбаски A₁B₁ = A₁B₂ аст, қуллаи B₂ бо қуллаи B₁ ҳамҷоя мешавад (расми 45, б). Азбаски \(\angle\)B₁A₁C₁ = \(\angle\)B₂A₁C₂ аст, пас нури A₁C₂ бо нури A₁C₁ ҳамҷоя мешавад (расми 45, в). Азбаски A₁C₁ = A₁C₂ аст, пас қуллаи C₂ бо қуллаи C₁ҳамҷоя мешавад (расми 45, г).

Расми 45

Инак, секунҷаи A₁B₁C₁ бо секунҷаи A₁B₂C₂ ҳамҷоя мешавад, бинобар ин секунҷаи A₁B₁C₁ бо секунҷаи A₁B₂C₂ баробар аст. Теорема исбот шуд.

Саволи 2. Аломати дуюми баробарии секунҷаҳоро баён кунед ва исбот намоед.
Ҷавоб. Аломати дуюми баробарии секунҷаҳо. Теоремаи 3.2 (аломати баробарии секунҷаҳо рӯи як тараф ва кунҷҳои ба онҳо часпида). Агар як тараф в аду кунҷи ба ин тараф часпидаи як секунҷа мувофиқан ба як тараф ва ду кунҷи ба ин тараф часпидаи дигар секунҷа баробар бошанд, он гоҳ ин гуна секунҷаҳо баробаранд.
Исбот. Фарз мекунем, ки ABC ва A₁B₁C₁ ду секунҷа буда, дар онҳо AB = A₁B₁, \(\angle\)A = \(\angle\)A₁ ва \(\angle\)B = \(\angle\)B₁(расми 47).

Расми 47

Исбот мекунем, ки секунҷаҳо баробаранд. Фарз мекунем, ки A₁B₂C₂ секунҷаи ба секунҷаи ABC баробар мебошад; дар он қуллаи B₂ дар нури A₁B₁ воқеъ аст ва қуллаи C₂ бо қуллаи C₁ дар як нимҳамворӣ (нисбат ба хати рости A₁B₁) воқеъ аст. Азбаски A₁B₂ = A₁B₁ аст, пас қуллаи B₂ бо қуллаи B₁ ҳамҷоя мешавад. Азбаски \(\angle\)B₁A₁C₂ = \(\angle\)B₁A₁C₁ ва \(\angle\)A₁B₁C₂ = \(\angle\)A₁B₁C₁ аст, пас нури A₁C₂ бо нури A₁C₁ ва нури B₁C₂ бо нури B₁C₁ ҳамҷоя мешавад. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки қуллаи C₂ бо қуллаи C₁ ҳамҷоя мешавад. Инак, секунҷаи A₁B₁C₁ бо секунҷаи A₁B₂C₂ ҳамҷоя мешавад, бинобар ин секунҷаи A₁B₁C₁ ба секунҷаи ABC баробар аст. Теорема исбот шуд.

Саволи 3. Чӣ гуна секунҷаҳоро секунҷаи баробарпаҳлӯ меноманд? Кадом тарафҳои секунҷаи баробарпаҳлӯ тарафҳои паҳлӯӣ номида мешаванд? Кадом тараф асос номида мешавад?
Ҷавоб. Агар дар секунҷа ду тараф ба якдигар баробар бошанд, ин секунҷаро секунҷаи баробарпаҳлӯ меноманд. Тарафҳои баробар тарафҳои паҳлӯӣ номида мешаванд. Тарафи сеюм асоси секунҷа номида мешавад.

Саволи 4. Исбот кунед, ки дар секунҷаи баробарпаҳлӯ кунҷҳои назди асос баробаранд.
Ҷавоб. Теоремаи 3.3 (хосияти кунҷҳои баробарпаҳлӯ). Дар секунҷаи баробарпаҳлӯ кунҷҳои назди асос баробаранд.
Исбот.Фарз мекунем, ки ABC секунҷаи баробарпаҳлӯи асосаш AB мебошад (расми 48).

Расми 48

Исбот мекунем, ки дар ин секунҷа \(\angle\)A = \(\angle\)B аст. Мувофиқи аломати якуми баробарии секунҷаҳо секунҷаи CAB ба секунҷаи CBA баробар аст. Ҳақиқатан, CA = CB, CB = CA, \(\angle\)C = \(\angle\)C. Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки \(\angle\)A = \(\angle\)B аст. Теорема исбот шуд.

Саволи 5. Чӣ гуна секунҷаҳоро секунҷаи баробартараф меноманд?
Ҷавоб. Секунҷае, ки дар он ҳама тарафҳо баробаранд, секунҷаи баробартараф меноманд.

Саволи 6. Исбот кунед, ки агар дар секунҷа ду кунҷ баробар бошанд, он гоҳ секунҷа баробарпаҳлӯ аст.
Ҷавоб. Теоремаи 3.4 (аломати секунҷаи баробарпаҳлӯ). Агар дар секунҷа ду кунҷ баробар бошанд, он гоҳ секунҷа секунҷаи баробарпаҳлӯ аст.
Исбот.Фарз мекунем, ки ABC секунҷа буда, дар он \(\angle\)A = \(\angle\)B мебошад (расми 50).

Расми 50

Исбот мекунем, ки он секунҷаи баробарпаҳлӯи асосаш AB мебошад. Мувофиқи аломати дуюми баробарии секунҷаи ABC ба секунҷаи BAC баробар аст. Ҳақиқатан, AB = BA, \(\angle\) B = \(\angle\)A, \(\angle\)A = \(\angle\)B. Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки AC = BC. Пас, мувофиқи таъриф секунҷаи ABC секунҷаи баробарпаҳлӯ мебошад. Теорема исбот шуд.

Саволи 7. Теоремаи баръакс чист? Мисол оред. Оё барои ҳар гуна теорема теоремаи баръакс дуруст аст?
Ҷавоб. Теоремаи 3.4 ба теореми 3.3 баръакс номида мешавад. Хулосаи теоремаи 3.3 шарти теоремаи 3.4 мебошад. На ҳар гуна теорема теоретаи баръакс дорад, яъне агар теоремаи додашуда дуруст бошад, он гоҳ теоремаи баръакс нодуруст буданаш мумкин аст. Инро дар мисоли теремаи кунҷҳои амудӣ мефаҳмонем. Ин теоремаро чунин баён кардан мумкин аст: агар ду кунҷ кунҷҳои амудӣ бошанд, он гоҳ ин кунҷҳо баробаранд. Теоремаи ба ин баръакс чунин аст: агар ду кунҷ баробар бошанд, он гоҳ ин кунҷҳо кунҷҳои амудӣ мебошанд. Ин, албатта, нодуруст аст. Ду кунҷи баробар кунҷҳои амудӣ буданашон ҳатмӣ нест.

Саволи 8. Баландии секунҷа чист?
Ҷавоб. Перпендикуляре, ки аз қуллаи додашудаи секунҷа ба тарафи муқобил гузаронида шудааст, баландии секунҷа номида мешавад. Дар расми 51 мо ду секунҷаеро мебинем, ки дар онҳо баландӣ аз қуллаҳои B ва B₁ гузаронида шудаанд.

Расми 51

Саволи 9. Биссектрисаи секунҷа чист?
Ҷавоб. Порчаи биссектрисаи кунҷи секунҷа, ки қуллаи додашудаи секунҷаро бо нуқтаи тарафи муқобил пайваст мекунад, биссектрисаи секунҷа номида мешавад (расми 52, а).

Саволи 10. Медианаи секунҷа чист?
Ҷавоб. Порчае, ки қуллаи додашудаи секунҷаро бо миёнаҷои тарафи муқобил пайваст мекунад, медианаи секунҷа номида мешавад (расми 52, б).

Расми 52

Саволи 11. Исбот кунед, ки дар секунҷаи баробарпаҳлӯ медианае, ки ба асос гузаронида шудааст, биссектриса ва баландӣ мебошад.
Ҷавоб.Теоремаи 3.5 (хосияти медианаи секунҷаи баробарпаҳлӯ). Дар секунҷаи баробарпаҳлӯ медианае, ки ба асос гузаронида шудааст, биссектриса ва баландӣ мебошад. Исбот. Фарз мекунем, ки ABC секунҷаи баробарпаҳлӯи асосаш AB мебошад ва CD медианаи ба асос гузаронидашуда мебошад. (расми 53).

Расми 53

Мувофиқи аломати якуми баробарии секунҷаҳо секунҷаҳои CAD ва CBD баробаранд. (Дар ин секунҷаҳо тарафҳои AC ва BC баробаранд, чунки секунҷаи ABC секунҷаи баробарпаҳлӯ мебошад.) Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки кунҷҳо баробаранд: \(\angle\)ACD = \(\angle\)BCD, \(\angle\)ADC = \(\angle\)BDC. Азбаски кунҷҳои ADC ва BDC баробаранд, пас CD биссектриса мебошад. Азбаски кунҷҳои ADC ва BDC кунҷҳои ҳамсоя ва баробар мебошанд, пас онҳо кунҷҳои ростанд, бинобар ин CD баландии секунҷа мебошад. Теорема исбот шуд.

Саволи 12. Аломати сеюми баробарии секунҷаҳоро исбот кунед.
Ҷавоб. Теоремаи 3.6 (аломати баробарии секунҷаҳо аз рӯи се тараф). Агар се тарафи як секунҷа мувофиқан ба се тарафи дигар секунҷа баробар бошанд, он гоҳ ин гуна секунҷаҳо баробаранд.
Исбот. Фарз мекунем, ки ABC ва A₁B₁C₁ ду секунҷае мебошанд ва дар онҳо AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁ (расми 55). Исбот мекунем, ки ин секунҷаҳо баробаранд. Фарз мекунем, ки секунҷаҳо баробар нестанд. Он гоҳ дар ин секунҷаҳо \(\angle\)A \(\neq\) \(\angle\)A₁, \(\angle\)B \(\neq\) \(\angle\)B₁, \(\angle\)C \(\neq\) \(\angle\)C₁. Вагарна ин секунҷаҳо мувофиқи аломати якум баробар мешуданд. Фарз мекунем, ки A₁B₁C₂ секунҷаи ба секунҷаи ABC баробар мебошад. Дар он қуллаи C₂ (нисбат ба хати рости A₁B₁) бо қуллаи C₁дар як нимҳамворӣ воқеъ аст (ба расми 55 нигаред).

Расми 55

Фарз мекунем, ки D миёнаҷои порчаи C₁C₂ мебошад. Секунҷаҳои A₁C₁C₂ ва B₁C₁C₂ секунҷаҳои баробарпаҳлӯ буда, асосашон C₁C₂ умумӣ аст. Бинобар ин медианаи онҳо A₁D ва B₁D баландиҳо мебошанд. Пас, хатҳои рости A₁D ва B₁D ба хати рости C₁C₂ перпендикуляр мебошанд. Хатҳои рости A₁D ва B₁D ҳамҷоя намешаванд, чунки нуқтаҳои A₁, B₁, D дар як хати рост воқеъ нестанд. Лекин аз нуқтаи D-и хати рости C₁C₂ фақат як хати рости ба он перпендикуляр гузаронидан мумкин аст. Мо ба зиддият дучор шудем. Теорема исбот шуд.