Барои ёфтани матритсаи ба матритсаи зерин баръакс аз методи Гаусс-Жордан истифода мебарем:
\[ A = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 4
\end{array} \right]\]
Матритсаи додашударо ҳамҷоя бо матритсаи воҳидӣ менависем:
\[ \left[ \begin{array}{ccc | ccc}
1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]\]
Сатри 1-ро ба -2 зарб мекунем ва ба сатри 3 ҷамъ мекунем, то ки элементи якуми сатри 3 ба 0 баробар шавад (\(-2 \cdot R_1 + R_3 \rightarrow R_3\)):
\[ \left[ \begin{array}{ccc | ccc}
1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 4 & -2 & 0 & 1
\end{array} \right]\]
Сатри 2-ро ба -2 зарб мекунем ва ба сатри 3 ҷамъ мекунем, то ки элементи дуюми сатри 3 ба 0 баробар шавад (\(-2 \cdot R_2 + R_3 \rightarrow R_3\)):
\[ \left[ \begin{array}{ccc | ccc}
1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 8 & -2 & -2 & 1
\end{array} \right]\]
Сатри 3-ро ба \(\frac{1}{8}\) зарб мекунем, то ки элементи сеюми сатри 3 ба 1 баробар шавад (\(\frac{1}{8} \cdot R_3 \rightarrow R_3\)):
\[ \left[ \begin{array}{ccc | ccc}
1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8}
\end{array} \right]\]
Сатри 3-ро ба 2 зарб мекунем ва ба сатри 1 ҷамъ мекунем, то ки элементи сеюми сатри 1 ба 0 баробар шавад (\(2 \cdot R_3 + R_1 \rightarrow R_1\)):
\[ \left[ \begin{array}{ccc | ccc}
1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8}
\end{array} \right]\]
Сатри 2-ро ба сатри 1 ҷамъ мекунем, то ки элементи дуюми сатри 1 ба 0 баробар шавад (\(R_2 + R_1 \rightarrow R_1\)):
\[ \left[ \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8}
\end{array} \right]\]
Акнун қисми чапи матристаи дучанда матритсаи воҳидӣ аст. Қисми рости матритсаи дучанда матритсаи баръакс аст. Матритсаи \(A^{-1}\) чунин аст:
\[ \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8}
\end{array} \right] \]
Месанҷем, ки \([A^{-1}][A] = [I]\) аст:
\[ \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8}
\end{array} \right]
\times
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 4
\end{array} \right]\]
\[=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 2
&
\frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0
&
\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (-2) + \frac{1}{4} \cdot 4
\\
-\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 2
&
-\frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0
&
-\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (-2) + \frac{1}{4} \cdot 4
\\
-\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 2
&
-\frac{1}{4} \cdot (-1) - \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 0
&
-\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot (-2) + \frac{1}{8} \cdot 4
\end{array} \right] \]
\[=\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]\]
Ҷавоб:
\[ \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8}
\end{array} \right] \]
