Ҷойгиркунӣ

Бигзор маҷмӯи иборат аз \(n\) элемент дода шуда бошад. Ҳар як зермаҷмӯи ботартиби иборат аз \(k\) элемент ҷойгиркунии \(k\) элемент аз \(n\) элемент номида мешавад. Тартиби элементҳои зермаҷмӯъ дар ҷойгиркуниҳо муҳим аст.

Дар масъалаҳои комбинаторӣ зарур мешавад, ки миқдори ҳамаи ҷойгиркуниҳои \(k\) элемент аз \(n\) элемент шуморида тавонем. Барои ишораи ин адад рамзи махсус \(A_n^k\) истифода мешавад. Тарзи хондан: "миқдори ҷойгиркуниҳо аз \(n\) \(k\)-то" ва ё "\(A\) аз \(n\) \(k\)-то".

\(A\) - ҳарфи аввали калимаи франсавии arrangement аст.

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) ... (n-k+1),\quad k>0.\]

Ҷойивазкунӣ

Ҷойгиркунии \(n\) элемент аз \(n\) элемент ҷойивазкунӣ номида мешавад.

Яъне ҷойивазкунӣ ҳолати хусусии ҷойгиркунӣ аст. Азбаски ҳар як ҷойивазкунӣ ҳамаи \(n\) элементҳои маҷмӯъро дарбар мегирад, пас ҷойивазкуниҳои гуногуни як маҷмӯъ аз ҳамдигар танҳо бо пайдарпаии элементҳо фарқ мекунанд. 

Миқдори ҷойивазкуниҳои иборат аз \(n\) элементро бо рамзи \(P_n\) ишорат мешавад.

\(P\) - ҳарфи аввали калимаи франсавии permutation аст.

\[P_n = A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} =n! = n(n-1)(n-2) ... 3 \cdot 2 \cdot 1.\]

Якҷоякунӣ (пайвасткунӣ, комбинатсия)

Бигзор маҷмӯи иборат аз \(n\) элемент дода шуда бошад. Ҳар як зермаҷмӯи иборат аз \(k\) элемент якҷоякунии \(k\) элемент аз \(n\) элемент номида мешавад. Тартиби элементҳои зермаҷмӯъ дар якҷоякуниҳо аҳамият надорад.

Миқдори ҳамаи якҷоякуниҳои \(k\) элемент аз \(n\) элемент бо рамзи \(C_n^k\) ишорат карда мешавад. Тарзи хондан: "миқдори якҷоякуниҳо аз \(n\) \(k\)-то" ва ё "\(C\) аз \(n\) \(k\)-то".

\(C\) - ҳарфи аввали калимаи франсавии combinasion аст.

\[C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! k!} = \frac{n(n-1)(n-2) ... (n-k+1)}{k!}.\]

Биноми Нютон

\[(a + b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k.\]

Секунҷаи Паскал, қисман:

\[\newcommand\cn[3]{\llap{#1}#2\rlap{#3}} \begin{array}{c} &&&&&&\cn{}{1}{}\\ &&&&&\cn{}{1}{}&&\cn{}{1}{}\\ &&&&\cn{}{1}{}&&\cn{}{2}{}&&\cn{}{1}{}\\ &&&\cn{}{1}{}&&\cn{}{3}{}&&\cn{}{3}{}&&\cn{}{1}{}\\ &&\cn{}{1}{}&&\cn{}{4}{}&&\cn{}{6}{}&&\cn{}{4}{}&&\cn{}{1}{}\\ &\cn{}{1}{}&&\cn{}{5}{}&&\cn{1}{}{0}&&\cn{1}{}{0}&&\cn{}{5}{}&&\cn{}{1}{}\\ \cn{}{1}{}&&\cn{}{6}{}&&\cn{1}{}{5}&&\cn{2}{}{0}&&\cn{1}{}{5}&&\cn{}{6}{}&&\cn{}‌​{1}{} \end{array}\]

ё ки

\[\newcommand\cn[3]{\llap{#1}#2\rlap{#3}} \begin{array}{c} &&&&&&\cn{}{C_0^0}{}\\ &&&&&\cn{}{C_1^0}{}&&\cn{}{C_1^1}{}\\ &&&&\cn{}{C_2^0}{}&&\cn{}{C_2^1}{}&&\cn{}{C_2^2}{}\\ &&&\cn{}{C_3^0}{}&&\cn{}{C_3^1}{}&&\cn{}{C_3^2}{}&&\cn{}{C_3^3}{}\\ &&\cn{}{C_4^0}{}&&\cn{}{C_4^1}{}&&\cn{}{C_4^2}{}&&\cn{}{C_4^3}{}&&\cn{}{C_4^4}{}\\ &\cn{}{C_5^0}{}&&\cn{}{C_5^1}{}&&\cn{}{C_5^2}{}&&\cn{}{C_5^3}{}&&\cn{}{C_5^4}{}&&\cn{}{C_5^5}{}\\ \cn{}{C_6^0}{}&&\cn{}{C_6^1}{}&&\cn{}{C_6^2}{}&&\cn{}{C_6^3}{}&&\cn{}{C_6^4}{}&&\cn{}{C_6^5}{}&&\cn{}{C_6^6}{} \end{array} \\ \ldots \quad \ldots \quad \ldots\]