Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Дар параграфи якум зикр гардида буд, ки барои тавсифи пурраи ҳодисаҳои тадқиқшаванда муодилаҳои дифференсиалӣ бо ҳосилаҳои хусусиро ҳамроҳи шартҳои аввалаю канорӣ меомӯзанд. Агар ҳалли шартҳои авваларо қаноаткунандаи муодилаи дифференсиалӣ ҷустуҷӯ карда шавад, ин масъаларо масъалаи Коши меноманд. Ҳалли шартҳои канориро қаноат мекардагии муодиларо ёфтанӣ бошем, ингуна масъаларо масъалаи канорӣ меноманд. Масъалаи ёфтани ҳалли шартҳои аввалаю канориро қонеъкунандаи муодилаи дифференсиалиро масъалаи омехта меноманд. Ин се намуд масъалаҳоро масъалаҳои физикаи математикӣ меноманд.
Мегӯянд, ки масъалаи физикаи математикӣ корректӣ (дуруст) аст, агар дар ягон синфи функсияҳои \(M\) шартҳои зерин иҷро шаванд:
1) ҳалли масъала дар синфи \(M\) мавҷуд аст;
2) ҳалли дар \(M\) мавҷудбуда ягон аст;
3) ҳал аз функсияҳои маълуми дар масъала додашуда - аъзои озод, функсияҳои аввалаю канорӣ бефосила вобаста аст.
Дар ин ҳолат синфи \(M\)-ро синфи корректнокии масъалаи додашуда меноманд.
Ба таври умум бефосила вобастагии ҳал аз додашудаҳои масъала, ки зикрашон дар боло гузашт, чунин маъно дорад, ки агар додашудаҳои масъаларо каме тағйир диҳем, ҳалли масъалаи тағйирёфта аз ҳалли масъалаи аввала низ кам фарқ мекунад.
Дар параграфҳои минбаъда мо асосан ба тадқиқи корректӣ будани масъалаҳои Коши, канорӣ, омехта барои муодилаҳои дифференсиалии тартиби дуюми навъҳои гиперболӣ, параболӣ ва эллипсӣ машғул мешавем.
Маълум мешавад, ки на ҳаргуна масъала корректӣ аст. Олими франсуз Адамар аввалин маротиба нишон дод, ки масъалаи Коши барои муодилаи Лаплас корректӣ нест. Барои исботи ин тасдиқот Адамар мисоли зеринро овард.
Мисоли Адамар. Масъалаи Кошии
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \quad t>0, \quad x\in\mathbb{R},\]
\[u(0,x) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(0,x) = \frac{1}{k}\sin kx, \quad x\in\mathbb{R}\]
-ро дида мебароем. Функсияи
\[u_k(t,x) = \frac{1}{k^2} \text{sh}\, kt\cdot \sin kx\]
ҳалли масъала мебошад. Ҳангоми \(k \to +\infty\) мунтазам нисбат ба \(x\in\mathbb{R}\)
\[\frac{1}{k}\sin kx \rightrightarrows 0\]
аст. Лекин барои қиматҳои \(x = \pi n, n = 0,\pm 1,...\) ҳангоми \(x\to\infty\)
\[u_k(t,x) \nrightarrow 0\]
аст. Яъне ҳалли масъала аз шарти аввала бефосила вобаста нест. Пас масъалаи Коши барои муодилаи Лаплас корректӣ намебошад.
Ҳамаи масъалаҳое, ки минбаъд меомӯзем, корректӣ мебошанд. Масъалаҳоеро, ки корректӣ намебошанд, масъалаҳои ғайрикорректӣ меноманд. Тадқиқи бисёре аз ҳодисаҳои физикӣ ба масъалаҳои ғайрикорректӣ меоранд. Аз ин рӯ, омӯзиши ингуна масъалаҳо аз аҳамият холӣ намебошад. Ба омӯзиши ҳаматарафаи масъалаҳои ғайрикорректӣ академик Тихонов А.Н. ибтидо гузошт. Ӯ методҳоеро кор карда баромад, ки тавассути ин методҳо масъалаҳои ғайрикорректӣ бо ёрии масъалаҳои корректӣ ҳал карда мешаванд.
