Масъала. Сеаъзогии квадратии \(5x^2 + 10x - 15\)-ро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед.

Ҳал. Решаҳои сеаъзогии квадратии додашударо меёбем. Барои ин муодилаи квадратии зеринро бо методи дискриминант ҳал мекунем:

\[5x^2 + 10x - 15 = 0.\]

Барои ин муодила: \(a = 5, b = 10, c = -15\).

Дискриминантро меёбем:

\[D = b^2-4ac = 10^2-4 \cdot 5 \cdot (-15) = 100 + 300 = 400 > 0.\]

Азбаски \(D>0\), пас муодила ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:

\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Яъне,

\[x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{400} }{2 \cdot 5} = \frac{-10 \pm 20}{10} = \frac{10 \cdot (-1 \pm 2)}{10} = -1 \pm 2.\]

Аз ин ҷо

\(x_1 = -1 - 2 = -(1 + 2) = -3\).

\(x_2 = -1 + 2 = 2 - 1 = 1\).

Теоремаи зерин ҷой дорад.

Теорема. Агар \(x_1\) ва \(x_2\) решаҳои сеаъзогии квадратии \(ax^2 + bx + c\) бошанд, он гоҳ \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).

Теоремаи ба зарбкунандаҳо ҷудо кардани сеаъзогии квадратиро истифода карда, чунин ифодаро ҳосил менамоем:

\[5x^2 + 10x - 15 = 5(x + 3)(x - 1).\]

Яъне, сеаъзогии квадратии додашуда ба зарбкунандаҳо ҷудо шуд.

Дурустии инро месанҷем:

\[\begin{multline} 5(x + 3)(x - 1) = (5x + 15)(x - 1) = \\ = 5x^2 - 5x + 15x - 15 = 5x^2 + 10x - 15.\end{multline}\]