Мафҳуми логарифм

Логарифми адади мусбати \(N\)  аз рӯи асоси \(b\) ( \(b > 0,  b \neq 1\) ) гуфта нишондиҳандаи дараҷа \(x\), ки ба он \(b\)-ро барои ҳосил намудани \(N\) бардоштан лозим аст, меноманд.

Ишораи логарифм: \[\log _b N = x.\]

Ин навишт ба баробарии зерин баробарқувва аст: \[b^x = N.\]

Мисолҳо:

\(\log _5 25 = 2\), чунки \(5^2 = 25\).

\(\log _3 81 = 4\), чунки \(3^4 = 81\).

\(\log _{1/3} 27 = -3\), чунки \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3^3}} = 3^3 = 27\).

\(1^o. \quad a^{\log_a b} = b\) (Айнияти асосии логарифмӣ).

\(2^o. \quad \log_a 1 = 0;\; \log_a a = 1.\)

\(3^o. \quad \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)\).

Мисол: \(\log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5\)

\(4^o. \quad \log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y)\).

Мисол: \(\log_{10} x = \lg x; \; \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3\)

\(5^o. \quad \log_a(x^p) = p \log_a (x)\).

Мисол: \(\log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6\)

\(6^o. \quad \log_a \sqrt[p]{x} = p \cdot \log_a (x)\).

Мисол: \(\lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1.5\)

\(7^o. \quad \log_{a^p} x = \frac{1}{p}\cdot\log_a (x)\).

Мисол: \(\log_4 1024 = \log_{2^2} 1024 = \frac{1}{2}\log_{2} 1024 = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5\)

\(8^o. \quad \log _b \left( x \right) = \log _b \left( c \right)\log _c \left( x \right) = \frac{{\log _c \left( x \right)}}{{\log _c \left( b \right)}}\)

Дар ҳолати имконпазир будани қиматҳои манфии тағйирёбандаҳо чунин баробариҳо ҷой доранд:

\(\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|\)

\(\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|\)