Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Теоремаи Ковалевская. Исботи мавҷудияти ҳал. Аз рӯи функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) тавассути қоидаҳои дар боло зикршуда ададҳои \(A^{(m)}_{k_0 k_1 ... k_n}\)-ро меёбем ва қаторҳои дараҷагии (2.6)-ро тартиб медиҳем. Аз тарзи ёфтани ададҳои \(A^{(m)}_{1 k_1 ... k_n}\) аён мегардад, ки дар ҳолати дар ягон атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) мунтазам наздикшаванда будани қаторҳои тартиб додашуда, суммаҳои онҳо дар маҷмӯъ ҳалли дар атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) аналитикии масъалаи Коши мешаванд.
Наздикшавандагии қаторҳоро бо методе нишон медиҳем, ки бо номи методи мажорантаҳо маъмул аст.
Мажорантаи функсияи дар атрофи \((t_0, x_1^0, ..., x_n^0)\) аналитикии \(\varphi\) гуфта функсияи дар атрофи ин нуқта аналитикии \(\psi\)-ро меноманд, ки коэффитсиентҳои қатораш аз қиматҳои мутлақи коэффитсиентҳои мувофиқи қатори \(\varphi\) хурд намебошанд.
Исботи наздикшавандагии қаторҳои (2.6)-ро ба тариқи зайл анҷом медиҳем:
1) барои функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) мажорантаи умумиро интихоб мекунем;
2) дар системаи (2.1) ба ҷои функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) мажорантаи умумиро гузошта системаи дуюмро тартиб медиҳем;
3) нишон медиҳем, ки системаи дуюм ҳалли дар атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) аналитикӣ дорад, ки коэффитсиентҳои қатораш аз қимати мутлақи коэффитсиентҳои мувофиқи қаторҳои (2.6) хурд нестанд (яъне ҳалли системаи дуюм мажорантаи ҳалли системаи (2.6) мешавад).
Бигзор функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\)-ро дар атрофи
\[S_a=\{(t,x_1,...,x_n): |t|<a, |x_1|<a,...|x_n|<a\}\]
-и нуқтаи \((0,0,...,0)\) ба қаторҳои мунтазам наздикшаванда паҳн кардан мумкин бошад. Адади мусбати \(M\)-ро чунон интихоб мекунем, ки коэффитсиентҳои \(A_{k_0 k_1 ... k_n}$\)-и қаторҳои функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) бо қиматҳои мутлақашон аз адади \(M/a^{k_0+...+k_n}\) зиёд нашаванд. Он гоҳ функсияи
\[\psi^0(t,x_1,...,x_n)=M/\left(1-\frac{\frac{t}{\alpha}+x_1+...+x_n}{a}\right), \quad (0<\alpha <1)\]
ҳангоми \(|\frac{t}{\alpha}|+|x_1|+...+|x_n|<a\) будан ба қатори мунтазам наздикшавандаи
\(\begin{multline}
M\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\frac{t}{\alpha}+x_1+...+x_n}{a}\right)^k=M\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{a^k}\times\\
\times\sum_{k_0+k_1+...+k_n=k}\frac{k!}{k_0! k_1! ... k_n!}\left(\frac{t}{\alpha}\right)^k_0\cdot x_1^{k_1}\cdot ... \cdot x_n^{k_n}
\end{multline}\)
паҳн шуда, мажорантаи умумии функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) мешавад. Зеро ки мувофиқи интихоби адади \(M\) барои коэффитсиентҳои \(A_{k_0 k_1 ... k_n}\)-и қаторҳои ин функсияҳо нобаробариҳои зерин дурустанд:
\(\begin{multline}
\big|A_{k_0 k_1 ... k_n}\big| \leq \frac{M}{a^{k_0+k_1+...+k_n}}=1\cdot\frac{M}{a^k}\cdot1\leq \\
\leq \frac{1}{\alpha^{k_0}}\cdot\frac{M}{a^k}\cdot\frac{(k_0+...+k_n)!}{k_0! \cdot ... \cdot k_n!}=\frac{M\cdot k!}{\alpha^{k_0} a^k k_0! \cdot ... \cdot k_n!}.
\end{multline}\)
Дар системаи (2.1) ба ҷои функсияҳои \(a_{ij}^{(m)}, b_{ij}, c_i\) мажорантаи умумии \(\psi\)-ро гузошта, системаи дуюмро ҳосил мекунем:
\(\begin{equation}
(2.7)\qquad\frac{\partial\nu_m}{\partial t}=\psi\left(\sum_{k=1}^N\left(\frac{\partial\nu_k}{\partial x_1}+...+\frac{\partial\nu_k}{\partial x_n}\right)+\nu_1+...+\nu_N+1\right),\quad m=\overline{1,N}.
\end{equation}\)
Ҳалҳои муодилаҳои системаи мазкурро дар намуди зерин ҷустуҷӯ мекунем:
\[\nu_m(t,x_1,...,x_n)=U(\frac{t}{\alpha}+x_1+...+x_n), \quad m=\overline{1,N}.\]
Функсияи номаълуми \(U(y)\) ҳалли муодилаи дифференсиалии оддии
\[\frac{1}{\alpha}\frac{dU}{dy}=\frac{M}{1-\frac{y}{a}}\left(Nn\frac{dU}{dy}+nU+1\right)\]
мебошад. Муодиларо табдил медиҳем:
\[\frac{dU}{NU+1}=\frac{dy}{\frac{1-\frac{y}{a}}{\alpha M}-Nn}.\]
Адади \(\alpha\in(0;1)\)-ро чунон хурд мегирем, ки дар ягон атрофи нуқтаи \(y=0\)
\[A(y)=\frac{1}{\frac{1-\frac{y}{a}}{\alpha M}-Nn}>0\]
шавад. Он гоҳ функсияи \(A(y)\) дар ин атроф аналитикӣ мешавад. Ҳалли зерини муодилаи дифференсиалиро мегирем:
\[U(y)=\left(e^{N\int_0^y A(s)ds}-1\right)/N.\]
Аналитикӣ будани фнуксияи \(U(y)\) дар атрофи интихобшудаи нуқтаи \(y=0\) аён аст.
Акнун нишон медиҳем, ки коэффитсиентҳои қаторҳои функсияҳои дар атрофи нуқтаи \((0,0,...,0)\) аналитикии
\[\nu_m(t,x_1,...,x_n)=U(\frac{t}{\alpha}+x_1+...+x_n), \quad m=\overline{1,N},\]
ки дар маҷмӯъ ҳалли системаи дуюм мебошанд, аз қиматҳои мутлақи коэффитсиентҳои мувофиқи қаторҳои (2.6) хурд нестанд. Ба осонӣ дидан мумкин аст, ки коэффитсиентҳои қатори ба функсияи \(A(y)\) мувофиқ мусбат мебошанд. Коэффитсиентҳои қатори ба функсияи
\[B(y)=N\int_0^y A(s)ds\]
мувофиқ мусбат буда, аз баробарии
\[e^{B(y)}-1=B(y)+\frac{1}{2!}B^2(y)+...\]
бармеояд, ки коэффитсиентҳои қатори ба функсияи \(U(y)\) мувофиқ низ мусбат мебошанд. Пас, коэффитсиентҳои \(C_{k_0 k_1 ... k_n}^{(m)}\)-и қаторҳои ба функсияҳои \(\nu_m\) мувофиқ мусбат мебошанд.
Аз интихоби мажорантаи \(\psi\) дурустии нобаробариҳои
\[|A_{0 k_1 ... k_n}^{(m)}| \leq C_{0 k_1 ... k_n}^{(m)}\]
аён аст. Бигзор ҳангоми \(k_0<k\) будан, нобаробариҳои
\[|A_{k_0 k_1 ... k_n}^{(m)}| \leq C_{k_0 k_1 ... k_n}^{(m)}\]
ҷой дошта бошанд. Азбаски ададҳои \(A_{k k_1 ... k_n}^{(m)}, C_{k k_1 ... k_n}^{(m)}\) мувофиқан аз ададҳои \(A_{k_0 k_1 ... k_n}^{(m)}, C_{k_0 k_1 ... k_n}^{(m)}\) ва коэффитсиентҳои қаторҳои аъзоҳои озоду коэффитсиентҳои системаҳои мувофиқ тавассути амалҳои зарбу ҷамъ ҳосил мешаванд, бинобарон нобаробариҳои охирин ҳангоми \(k_0=k\) низ ҷой доранд.
Теоремаи Ковалевская исбот шуд.
