Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.
Саволи 11. Коэффитсиенти кунҷии хати рост чист ва чӣ гуна маънои геометрӣ дорад?
Ҷавоб. Агар дар муодилаи умумии хати рост \(ax + by + c = 0\) коэффитсиенти назди \(y\) нобаробари сифр бошад, он гоҳ муодиларо нисбат ба \(y\) ҳал кардан мумкин аст:
\[y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\]
Ё \(-\frac{a}{b} = k, \frac{c}{b} = l\) ишорат карда,
\[y = kx + l\]
-ро ҳосил мекунем.
Дар ин муодила маънои геометрии коэффитсиенти \(k\)-ро аниқ мекунем.
Дар хати рост ду нуқтаи \(A(x_1;y_1), B(x_2;y_2) \quad (x_1 < x_2)\)-ро нишона мекунем. Координатаҳои онҳо муодилаи хати ростро қаноат менамоянд:
\[y_1 = kx_1 + l, y_2 = kx_2 + l.\]
Ин баробариҳоро аъзо ба аъзо тарҳ кунем: \(y_2 - y_1 = k(x_2 - x_1).\) Аз ин ҷо
\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]
Дар мавриди дар расми 178, б тасвиршуда \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \text{tg }\alpha\).
Ҳамии тариқ, коэффитсиенти \(k\)-и муодилаи хати рост ба тангенси кунҷи тезе, ки хати рост бо тири \(x\) ҳосил мекунад, баробар мебошад.
Коэффициенти \(k\)-и муодилаи хати ростро коэффитсиенти кунҷии хати рост меноманд.
Саволи 12. Исбот кунед, ки графики функсияи хаттӣ хати рост мебошад.
Ҷавоб. Фарз мекунем, ки \(y = ax + b\) функсияи хаттии додашуда аст. Исбот мекунем, ки графики он хати рост аст.
Барои функсияи додашуда агар \(x=0\) бошад, он гоҳ \(y=b\) аст, агар \(x=1\) бошад, он гоҳ \(y = a + b\) аст. Бинобар ин нуқтаҳои \((0;b)\) ва \((1; a+b)\) ба графики функcия тааллуқ доранд. Муодилаи хати ростеро, ки аз ин нуқтаҳо мегузарад, тартиб медиҳем. Чунон ки мо медонем, он муодила ин аст:
\[y = kx + l.\]
Азбаски нуқтаҳои қайдшудаи график дар хати рост воқеъ мебошанд, пас координатаҳои онҳо муодилаи хати ростро қаноат менамоянд:
\[b = k\cdot 0 + l,\]
\[a + b = k\cdot 1 + l.\]
Аз ин ҷо меёбем, ки \(l=b, k=a\). Инак, муодилаи хати рост чунин аст:
\[y = ax + b.\]
Яъне, ҳама нуқтаҳои график муодилаи хати ростро қаноат менамоянд. Графики функцияи хаттӣ хати рост аст.
Саволи 13. Дар кадом маврид хати рост ва давра якдигарро намебуранд; дар ду нуқта якдигарро мебуранд; ба якдигар мерасанд?
Ҷавоб. Фарз мекунем, ки \(R\) радиуси давра ва \(d\) масофа аз маркази давра то хати рост мебошад. Маркази давраро ба сифати ибтидои координатаҳо ва хати рости ба хати рости додашуда перпендикулярро чун тири \(x\) қабул мекунем (расми 179). Он гоҳ \(x^2 + y^2 = R^2\) муодилаи давра ва \(x=d\) муодилаи хати рост мешавад.
Барои он, ки хати рост ва давра якдигарро буранд, бояд системаи ду муодилаи
\[x^2 + y^2 = R^2, \quad x = d\]
ҳал дошта бошад. Ва баръакс: ҳаргуна ҳалли ин система координатаҳои \(x, y\)-и нуқтаҳои буриши хати рост бо давра мебошанд. Системаро ҳал карда меёбем, ки
\[x = d, \quad y = \pm\sqrt{R^2-d^2}\]
Аз ифодаи \(y\) намоён аст, ки система ду ҳал дорад, яъне агар \(R>d\) бошад, давра ва хати рост ду нуқтаи буриш доранд (расми 179, а).
Агар \(R=d\) бошад, система як ҳал дорад (расми 179, б). Дар ин маврид хати рост ва давра ба якдигар мерасанд.
Система ҳал надорад, яъне агар \(R<d\) бошад, хати рост ва давра якдигарро намебуранд (расми 179, в).
Саволи 14. Синус, косинус ва тангенси кунҷи дилхоҳи аз \(0^\circ\) то \(180^\circ\)-ро таъриф диҳед.
Ҷавоб. Дар ҳамвории \(xy\) давраи марказаш ибтидои координатаҳо ва радиусаш \(R\)-ро мекашем (расми 180). Аз нимтири мусбати \(x\) дар нимҳамвории болоӣ (дар нимҳамворие, ки \(у >0\) аст) кунҷи \(\alpha\) мекашем. Бигзор \(x\) ва \(y\) координатаҳои нуқтаи \(A\) бошанд. Қиматҳои \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) ва \(\text{tg }\alpha\) барои кунҷи тези \(\alpha\) ба воситаи координатаҳои нуқтаи \(A\) ифода карда мешаванд, яъне
\[\cos\alpha = \frac{x}{R}, \quad \sin\alpha = \frac{y}{R}, \quad \text{tg }\alpha = \frac{y}{x}.\]
Акнун бо ин формулахо қиматҳои \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) ва \(\text{tg }\alpha\)-po барои кунҷи дилхоҳи \(\alpha\) муайян мекунем. (Барои \(\text{tg }\alpha\) кунҷи \(\alpha=90^\circ\) истисно мебошад.)
Дар чунин маврид \(\sin 90^\circ = 1\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\sin 180^\circ = 0\), \(\cos 180^\circ = -1\), \(\text{tg }180^\circ = 0\).
Нурҳои ҳамҷояшаванда кунҷи \(0^\circ\)-ро ташкил медиҳанд; инро ба назар гирем, он гоҳ \(\sin 0^\circ = 0\), \(\cos 0^\circ = 1\), \(\text{tg }0^\circ = 0\) аст.
Саволи 15. Исбот кунед, ки барои кунҷи дилхоҳи \(\alpha\), \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\), \(\sin (180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\), \(\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\), \(\text{tg }(180^\circ - \alpha) = -\text{tg }\alpha\).
Ҷавоб. Ҳақиқатан, секунҷаҳои \(OAB\) ва \(OA_1B\) аз рӯи гипотенуза ва кунҷи тезашон баробаранд (расми 181). Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки \(AB = A_1B_1\) аст, яъне \(y=y_1\); \(OB = OB_1\), пас \(x=-x_1\). Бинобар ин
\[\sin (180^\circ - \alpha) = \frac{y_1}{R} = \frac{y}{R} = \sin\alpha,\]
\[\cos (180^\circ - \alpha) = \frac{x_1}{R} = \frac{-x}{R} = -\cos\alpha.\]
Баробарии \(\sin (180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\)-po ба баробарии \(\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\) аъзо ба аъзо тақсим карда,
\[\text{tg }(180^\circ - \alpha) = -\text{tg }\alpha.\]
-po ҳосил мекунем. Теорема исбот шуд.
