Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.
Саволи 1. Координатаҳои нуқта чӣ тавр муайян карда мешаванд? Шарҳ диҳед.
Ҷавоб. Дар ҳамворӣ аз нуқтаи \(O\) ду хати рости ба якдигар перпендикуляри \(x\) ва \(y\) (тирҳои координатаҳо)-ро мегузаронем (расми 170). Тири \(x\) (тири уфуқӣ) тири абсисса ва тири \(y\) тири ордината номида мешавад. Нуқтаи буриш \(O\) (ибтидои координатаҳо) ҳар як тирро ба ду нимтир тақсим мекунад. Яке аз ин нимтирҳоро бо тирча нишона карда, тири мусбат ва нимтири дигарашро тири манфӣ меномем.
Ба ҳар як нуқта (\(A\))-и ҳамворӣ ҷуфти ададҳо (координатаҳои нуқта) - абсисса (\(x\)) ва ордината (\(y\))-ро бо чунин қоида мувофиқат мегузорем.
Аз нуқтаи \(A\) хати роста ба тири ордината параллелро мегузаронем (расми 170). Ин хати рост тири абсисса \(x\)-ро дар ягон нуқтаи \(A_x\) мебурад. Адади \(x\)-ро, ки бузургии мутлақаш ба масофаи байни нуқтаи \(O\) ва \(A_x\) баробар аст, абсиссаи нуқтаи \(A\) меномем. Агар \(A_x\) ба нимтири мусбат тааллуқ дошта бошад, ин адад адади мусбат аст ва агар \(A_x\) ба нимтири манфӣ тааллуқ дошта бошад, ин адад адади манфӣ мебошад. Агар адади \(A_x\) дар тири ордината \(y\) воқеъ бошад, \(x\)-ро баробари сифр меҳисобем.
Координатаҳои нуқтаро дар паси ишорати ҳарфии нуқта дар қавс менависем, масалан \(A(x;y)\) (дар ҷои якум – абсисса, дар ҷои дуюм - ордината).
Саволи 2. Агар нуқта дар чорьяки якум (дуюм, сеюм, чорум) воқеъ бошад, координатаҳояш чӣ хел аломат доранд?
Ҷавоб. Тирҳои координатаҳо ҳамвориро ба чор қисм – чорякҳои I, II, III, IV тақсим мекунанд (расми 172). Дар ин расм аломати координатаҳо дар ҳар як чоряк қайд шудааст.
Дар чоряки I абсисса мусбат ва ордината мусбат мебошанд.
Дар чоряки II абсисса манфӣ ва ордината мусбат мебошанд.
Дар чоряки III абсисса манфӣ ва ордината манфӣ мебошанд.
Дар чоряки IV абсисса мусбат ва ордината манфӣ мебошанд.
Саволи 3. Абсиссаи нуқтаҳое, ки дар тири ордината воқеъ мебошанд, ба чӣ баробаранд?
Ординатаи нуқтаҳое, ки дар тири абсисса воқеъ мебошанд, ба чӣ баробаранд?
Координатаҳои ибтидои координатаҳо ба чӣ баробар аст?
Ҷавоб. Нуқтаҳои тири \(y\) (тири ордината) абсиссаҳои баробари сифр (\(x=0\)) доранд.
Нуқтаҳои тири \(x\) (тири абсисса) ординатаҳои баробари сифр (\(y=0\)) доранд.
Дар ибтидои координатаҳо абсцисса ва ордината баробари сифр мебошанд.
Саволи 4. Формулаи координатаҳои миёнаҷои порчаро ҳосил кунед.
Ҷавоб. Фарз мекунем, ки \(A(x_1, y_1)\) ва \(B(x_1, y_2)\) ду нуқтаи дилхоҳ ва \(C(x, y)\) миёнаҷои порчаи \(AB\) мебошад. Координатаҳои \(x, y\)-и нуқтаи \(C\)-ро меёбем.
Фарз мекунем, ки порчаи \(AB\) ба тири \(y\) параллел нест, яъне \(x_1 \neq x_2\). Аз нуқтаҳои \(A, B, C\) хатҳои рости ба тири \(y\) параллелро мегузаронем (расми 173). Ин хатҳои рост тири \(x\)-ро дар нуқтаҳои \(A_1(x_1, 0), B_1(x_2, 0), C_1(x, 0)\) мебуранд. Мувофиқи теоремаи Фалес нуктаи \(C_1\) миёнаҷои порчаи \(A_1B_1\) мебошад.
Азбаски нуқтаи \(C_1\) миёнаҷои порчаи \(A_1B_1\) мебошад, пас \(A_1C_1 = B_1C_1\), яъне \(|x - x_1| = |x - x_2|\). Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки ё \(x - x_1 = x - x_2\), \(x - x_1 = -(x - x_2)\). Баробарии якум имкон надорад, чунки \(x_1 \neq x_2\). Бинобар ин баробарии дуюм дуруст аст. Аз он формулаи
\[x = \frac{x_1 + x_2}{2}\]
ҳосил мешавад.
Агар \(x_1 = x_2\) бошад, яъне порчаи \(AB\) ба тири \(y\) параллел бошад, он гоҳ нуқтаҳои \(A_1, B_1, C\) соҳиби якхел абсцисса мебошанд. Пас, формула дар ин маврид ҳам дуруст аст.
Ординатаи нуқтаи \(C\) ҳамин тавр ёфта мешавад. Аз нуқтаҳои \(A,B,C\) хатҳои рости ба тири \(x\) параллел гузаронида мешавад. Чунин формула ҳосил мешавад:
\[y = \frac{y_1 + y_2}{2}.\]
Саволи 5. Формулаи масофаи байни нуқтаҳоро ҳосил кунед.
Ҷавоб. Фарз мекунем, ки дар ҳамвории \(xy\) ду нуқта дода шудааст: нуқтаи \(A_1\) бо координатаҳои \(x_1, y_1\) ва нуқтаи \(A_2\) бо координатаҳои \(x_2, y_2\). Масофаи байни нуқтахои \(A_1\) ва \(A_2\)-ро ба воситаи координатаҳои ин нуқтаҳо ифода мекунем.
Аввал фарз мекунем, ки \(x_1 \neq x_2\) ва \(y_1 \neq y_2\) аст. Аз нуқтаҳои \(A_1\) ва \(A_2\) хатҳои рости ба тирҳои координатаҳо параллелро мегузаронем ва нуқтаи буриши онҳоро бо \(A\) ишорат мекунем (расми 174). Масофаи байни нуқтаҳои \(A\) ва \(A_1\) ба \(|y_1 - y_2|\) ва масофаи байни нуқтаҳои \(A\) ва \(A_2\) ба \(|x_1 - x_2|\) баробар аст. Теоремаи Пифагорро ба секунҷаи росткунҷаи \(AA_1A_2\) татбиқ карда, чунин ифодаро ҳосил мекунем:
\[d^2 = (x_1 – x_2)^2 + (y_1 – y_2)^2. \qquad (*)\]
дар ин ҷо \(d\) - масофаи байни нуқтаи \(A_1\) ва \(A_2\).
Агарчи формулаи (*)-ро дар асоси фарзияти \(x_1 \neq x_2, y_1 \neq y_2\) барои масофаи байни нуқтаҳо ҳосил карда бошем ҳам, он ба-рон мавридҳои дигар низ дуруст аст. Ҳақиқатан, агар \(x_1 = x_2, y_1 \neq y_2\) бошад, d ба \(|y_1 – y_2|\) баробар аст. Формулаи (*) ҳамон натиҷаро медиҳад. Мавриди \(x_1 \neq x_2, y_1 = y_2\) айнан ҳамин тавр муоина мешавад. Ҳангоми \(x_1 = x_2, y_1 = y_2\) нуқтаҳои \(A_1\) ва \(A_2\) ҳамҷоя мешаванд ва формулаи (*) баробари сифр (\(d=0\)) мешавад.
Саволи 6. Муодилаи шакл дар координатаи декартӣ чист?
Ҷавоб. Муодилаи дуномаълума (\(x\) ва \(y\))-е, ки онро координатаҳои нуқтаи дилхоҳи шакл қаноат менамоянд, муодилаи шакл дар хамворӣ (бо координатаҳои декартӣ) номида мешавад. Баръакс, ду адади дилхоҳе, ки ин муодиларо қаноат менамоянд, координатаҳои ягон нуқтаи шакл мебошанд.
Саволи 7. Муодилаи шакл дар координатаи декартӣ чист?
Ҷавоб. Муодилаи давраи марказаш нуқтаи \(A_0(a;b)\) ва радиусаш \(R\)-po тартиб медиҳем (расми 175). Дар давра нуқтаи дилхоҳи \(A(x;y)\)-ро нишона мекунем. Масофа аз он то марказ (\(A_0\)) ба \(R\) баробар аст. Квадрата масофа аз нуқтаи \(A\) то \(A_0\) ба \((x-a)^2 + (y-b)^2\) баробар аст. Ҳамин тариқ, координатаҳо \(x,y\)-и ҳар як нуқта \((A)\)-и давра муодилаи
\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\qquad (*)\]
-ро қаноат менамоянд.
Баръакс, нуқтаи дилхоҳи \(A\), ки координатаҳояш муодилаи (*)-ро қаноат менамоянд, ба давра тааллуқ дорад, чунки масофа аз он то нуқтаи \(A_0\) ба \(R\) баробар аст. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки муодилаи (*) муодилаи давраи марказаш \(A_0\) ва радиусаш \(R\) мебошад.
Агар ибтидои координатаҳо маркази давра бошад, муодилаи давра чунин мешавад:
\[x^2 + y^2 = R^2.\]
Саволи 8. Исбот кунед, ки хати рост дар координатаҳои декартӣ соҳиби муодилаи намуди \(ax + by + c = 0\) мебошад.
Ҷавоб. Исбот мекунем, ки хати рости дилхоҳ дар координатаҳои декартии \(x, y\) ба муодилаи намуди
\[ax + by + c = 0\]
соҳиб аст, дар ин ҷо \(a,b,c\) ададҳо мебошанд.
Фарз мекунем, ки \(h\) хати рости дилхоҳ дар ҳамвории \(xy\) мебошад. Ягон хати рости ба хати рости \(h\) перпендикулярро мегузаронем ва дар он аз нуқтаи буриш \((С)\) бо хати рости \(h\) порчаҳои баробари \(CA_1\) ва \(CA_2\)-ро ҷудо мекунем (расми 176).
Бигзор \(a_1, b_1\) координатаҳои нуқтаи \(A_1\) ва \(a_2, b_2\) координатаҳои нуқтаи \(A_2\) бошанд. Чунон ки медонем, нуқтаи дилхоҳ \(A(x,y)\)-и хати рости \(h\) аз нуқтаҳои \(A_1\) ва \(A_2\) якхел дур мебошанд. Бинобар ин координатаҳои он муодилаи
\[(x – a_1)^2 + (y – b_1)^2 = (x – a_2)^2 + (y – b_2)^2 \qquad (**)\]
-ро қаноат менамоянд.
Баръакс, агар координатаҳо (\(x\) ва \(y\))-и ягон нуқта муодилаи (**)-ро қаноат намоянд, он гоҳ ин нуқта аз нуқтаҳои \(A_1\) ва \(A_2\) якхел дур мебошад, яъне дар хати рости \(h\) воқеъ аст. Ҳамин тариқ, муодилаи (**) муодилаи хати рости \(h\) мебошад. Агар дар ин муодила қавсҳоро кушоем ва ҳамаи аъзоҳоро ба қисми чапаш гузаронем, он гоҳ муодила намуди зерро мегирад
\[2(a_2-a_1)x + 2(b_2-b_1)y + (a_1^2 + b_1^2 – a_2^2 – b_2^2) = 0.\]
Агар чунин ишорат кунем \(2(a_2-a_1) = a\), \(2(b_2-b_1) = b\), \(a_1^2 + b_1^2 – a_2^2 – b_2^2 = c\), муодилаи (*) ҳосил мешавад.
Тасдиқот исбот шуд.
Саволи 9. Агар муодилаҳои ду хати рост дода шуда бошанд, координатаҳои нуқтаи буриши онҳо чӣ тавр ёфта мешаванд?
Ҷавоб. Фарз мекунем, ки муодилаҳои ду хати рост дода шудаанд:
\[ax + by + c = 0\]
\[a_1x + b_1y + c_1 = 0\]
Координатаҳои нуқтаи буриши онҳоро меёбем.
Азбаски нуқтаи буриш \((x;y)\) ба ҳар яки хатҳои рост тааллуқ дорад, пас координатаҳои он ҳам муодилаи якум ва ҳам муодилаи дуюмро қаноат менамоянд. Бинобар ин координатаҳои нуқтаи буриш ҳалли системаи муодилаҳо (-и хатҳои рост) мебошанд. Мисол меорем.
Муодилаҳои хатҳои рости додашуда чунинанд:
\[3x - y + 2 = 0\]
\[5x - 2y + 1 = 0\]
Ин системаи муодилаҳоро ҳал карда меёбем, ки \( x=-3, y=-7\) \((-3;-7)\) нуқтаи буриши хатҳои рост мебошад.
Саволи 10. Агар дар муодилаи хати рост коэффициенти \(a=0\) (\(b=0\); \(c=0\)) бошад, хати рост чӣ тавр ҷойгир мешавад?
Ҷавоб. Агар муодилаи хати рост \(ax + by + c =0\) ин ё он намуди ҷузъӣ дошта бошад, хати рост нисбат ба тирҳои координатаҳо чӣ тавр ҷойгир мешавад? Инро аниқ мекунем.
1. \(a=0, b\neq 0\). Дар ин маврид муодилаи хати ростро ин тавр навиштан мумкин аст
\[y = -\frac{c}{b}\]
Ҳамин тариқ, ҳамаи нуктаҳои хати рост якхел ордината \(\left(-\frac{c}{b}\right)\) доранд, пас, хати рост ба тири \(x\) параллел аст (расми 177, а). Аз ҷумла, агар \(c=0\) бошад, хати рост бо тири \(x\) ҳамҷоя мешавад.
2. \( b =0, a \neq 0\). Ин маврид ҳам мисли мавриди якум тадқиқ мешавад. Хати рост ба тири \(y\) параллел аст (расми 177, б) ва агар \(c=0\) бошад, хати рост бо тири \(y\) ҳамҷоя мешад.
3. \( c =0\). Хати рост аз ибтидои координатаҳо мегузарад, чунки координатаҳои он (0; 0) муодилаи хати ростро қаноат менамоянд (расми 177,в).
