Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.
Саволи 14. Исбот кунед: барои ҳосил кардани ҳосили ҷамъи векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) аз нӯги вектори \(\overline{a}\) вектори \(\overline{b}'\)–и ба \(\overline{b}\) баробарро кашидан лозим аст. Он гоҳ векторе, ки ибтидоаш бо ибтидои \(\overline{a}\) ва интиҳоаш бо интиҳои вектори \(\overline{b}'\) ҳамҷоя мешавад, ба \(\overline{a} + \overline{b}\) баробар мешавад.
Ҷавоб. Теоремаи 10.1 (нигаред ба саволи 13) тарзи зерини сохтани ҳосили ҷамъи векторҳои дилхоҳи \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\)–ро медиҳад. Аз нӯги вектори \(\overline{a}\) вектори \(\overline{b}'\)– и ба вектори \(\overline{b}\) баробарро кашидан лозим аст. Он гоҳ векторе, ки ибтидоаш бо ибтидои вектори \(\overline{a}\) ва интиҳояш бо интиҳои вектори \(\overline{b}'\) ҳамҷоя мешавад, ҳосили ҷамъи векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) мешавад (расми 216). Чунин тарзи ҳосил кардани ҳосили ҷамъи ду вектор "қоидаи секунҷа"-и ҷамъи векторҳо номида мешавад.
Саволи 15. "Қоидаи параллелограмм"-и ҷамъи векторҳоро баён кунед.
Ҷавоб. Ҳосили ҷамъи векторҳои ибтидоаш умумӣ бо диагонали паралеллограме, ки дар ин векторҳо сохта шудаанд("қоидаи параллелограмм", расми 217), тасвир мешавад. Ҳақиқатан, \(\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}\) ва \( \overline{BC} = \overline{AD}\). Пас, \(\overline{AB} + \overline{AD} = \overline{AC}\).
Саволи 16. Таърифи ҳосили тарҳи векторҳоро гӯед.
Ҷавоб. Ҳосили тарҳи векторҳои \(\overline{a}(a_1;a_2)\) ва \(\overline{b}(b_1;b_2)\) гуфта чунин вектори \(\overline{c}(c_1;c_2)\)–ро меноманд, ки ҳангоми онро бо вектори \(\overline{b}\) ҷамъ кардан вектори \(\overline{a}\) ҳосил мешавад: \(\overline{b} + \overline{c} = \overline{a}\). Аз ин ҷо координатаҳои вектори \(\overline{c} = \overline{a} - \overline{b}\)–ро меёбем:
\[c_1 = a_1 – b_1; c_2 = a_2 – b_2.\]
Саволи 17. Таърифи зарби вектор ба ададро гӯед.
Ҷавоб. Ҳосили зарби вектори \(\overline{(a_1;a_2)}\) ба адади \(\lambda\) гуфта вектори \(\overline{(\lambda a_1; \lambda a_2)}\)–ро меноманд, яъне \(\overline{(a_1;a_2)} \lambda = \overline{(\lambda a_1; \lambda a_2)}\).
Мувофиқи таъриф \(\overline{(a_1;a_2)} \lambda = \lambda\overline{( a_1;a_2)}\).
Аз таърифи амали зарби вектор ба адад натиҷа мебарояд, ки барои вектори дилхоҳи \(\overline{a}\) ва ададҳои \(\lambda, \mu\)
\[(\lambda + \mu) \overline{a} = \lambda\overline{a} + \mu\overline{a}.\]
Барои ду вектори дилхоҳи \(\overline{a}, \overline{b}\) ва адади \(\lambda\)
\[\lambda(\overline{a} + \overline{b}) = \lambda\overline{a} + \lambda \overline{b}.\]
Саволи 18. Исбот кунед: бузургии мутлақи вектори \(\lambda\overline{a}\) ба \(|\lambda ||\overline{a}|\) баробар аст; ҳангоми \(\overline{a}\neq 0\) будан агар \(\lambda > 0\) бошад, самти вектори \(\lambda\overline{a}\) бо самти вектори \(\overline{a}\) мувофиқ меояд ва агар \(\lambda < 0\) бошад, самти вектори \(\lambda\overline{a}\) бо самти вектори \(\overline{a}\) муқобил аст.
Ҷавоб. Теоремаи 10.2. Бузургии мутлақи вектори \(\lambda\overline{a}\) ба \(|\lambda||\overline{a}|\) баробар аст. Агар \(\lambda > 0\) бошад, ҳангоми \(\overline{a}\neq 0\) будан самти вектори \(\lambda\overline{a}\) бо самти вектори \(\overline{a}\) мувофиқ меояд ва агар \(\lambda < 0\) бошад, самти вектори \(\lambda\overline{a}\) бо самти вектори \(\overline{a}\) муқобил аст.
Исбот. Векторҳои \(\overline{OA}\) ва \(\overline{OB}\)–ро, ки мувофиқан ба \(\overline{a}\) ва \(\lambda\overline{a}\) баробаранд, месозем (\(O\) - ибтидои координатаҳо). Фарз мекунем, ки \(a_1\) ва \(a_2\) координатаҳои вектори \(\overline{a}\) мебошанд. Он гоҳ ададҳои \(a_1\) ва \(a_2\) координатаҳои нуқтаи \(А\) ва \(\lambda a_1, \lambda a_2\) координатаҳои нуқтаи \(B\) мебошанд. Муодилаи хати рости \(OA\) чунин намуд дорад:
\[\alpha x + \beta y = 0.\]
Азбаски координатаҳои нуқтаи \(A(a_1;a_2)\) муодиларо қаноат менамояд, пас координатаҳои нуқтаи \(B(\lambda a_1; \lambda a_2)\) ҳам муодиларо қаноат мекунанд. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки нуқтаи \(B\) дар хати рости \(OA\) воқеъ аст. Аломати координатаҳо \(C_1, C_2\)-и нуқтаи дилхоҳи \(C\), ки дар нимхати рости \(OA\) воқеъ аст, ба аломати координатаҳо \(A(a_1;a_2)\)-и нуқтаи \(А\) якхел аст. Координатаҳои нуқтаи дилхоҳе, ки дар нимхати рости пуркунандаи \(OA\) воқеъ аст, аломатҳои муқобил доранд.
Бинобар ин агар \(\lambda > 0\) бошад, он гоҳ нуқтаи \(B\) дар нимхати рости \(OA\) воқеъ мешавад, бинобар ин векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\lambda\overline{a}\) самти якхела доранд. Агар \(\lambda < 0\) бошад, он гоҳ нуқтаи \(B\) дар нимхати рости пуркунанда воқеъ мешавад ва векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\lambda\overline{a}\) самти муқобил доранд.
Бузургии мутлақи вектори \(\lambda\overline{a}\):
\[|\lambda\overline{a}| = \sqrt{(\lambda a_1)^2 + (\lambda a_2)^2 } = |\lambda|\sqrt{a_1^2 + a_2^2 } = |\lambda| |\overline{a}|.\]
Теорема исбот шуд.
Саволи 19. Чӣ гуна векторҳоро векторҳои ҳамхат меноманд?
Ҷавоб. Агар ду вектори ғайрисифрӣ дар як хати рост ё дар хатҳои рости параллел воқеъ бошанд, онҳоро векторҳои ҳамхат меноманд(расми 223). Векторҳои ҳамхат ё самти якхела доранд, ё самташон муқобил аст.
Саволи 20. Исбот кунед: агар векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) аз вектори сифрӣ тафовут дошта бошанд ва ҳамхат набошанд, он гоҳ вектори дилхоҳи \(\overline{c}\)–ро ба намуди \(\overline{c} =\lambda\overline{a} + \mu\overline{a}\) навиштан мумкин аст.
Ҷавоб. Бигзор \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) векторҳои ғайриҳамхати ғайрисифрӣ бошанд. Исбот мекунем, ки вектори дилхоҳи \(\overline{c}\)-ро ба намуди
\[\overline{c} = \lambda\overline{a} + \lambda\overline{b}\]
навиштан мумкин аст.
Бигзор \(A\) ва \(B\) ибтидо ва интиҳои вектори \(\overline{c}\) бошанд (расми 224). Аз нуқтаҳои \(A\) ва \(B\) хатҳои рости ба векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) параллелро мегузаронем. Онҳо якдигарро дар нуқтаи \(C\) мебуранд. Чунин ифодаро ҳосил мекунем:
\[\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB}.\]
Азбаски векторҳои \(\overline{a}\) ва \(\overline{AC}\) векторҳои ҳамхат мебошанд, пас \(\overline{AC} = \lambda\overline{a}\). Азбаски векторҳои \(\overline{CB}\) ва \(\overline{b}\) векторҳои ҳамхат мебошанд, пас \(\overline{CB} = \mu\overline{b}\). Ҳамин тариқ,
\[\overline{c} = \lambda\overline{a} + \mu\overline{b}.\]
Ҳаминро исбот кардан лозим буд.
Саволи 21. Таърифи ҳосили зарби скалярии векторҳоро гӯед.
Ҷавоб. Ҳосили зарби скалярии векторҳои \(\overline{a}(a_1;a_2)\) ва \(\overline{b}(b_1;b_2)\) гуфта адади \(a_1b_1+a_2b_2\)–ро меноманд.
Барои ҳосили зарби скалярии векторҳо ҳамон хел навиштеро, ки барои ҳосили зарби ададҳо истифода мешуд, истифода мекунанд. Ҳосили зарби скалярии \(\overline{a}\cdot\overline{a}\) бо \(\overline{a^2}\) ишорат карда мешавад ва квадрати скалярӣ ном дорад. Маълум аст, ки \(\overline{a^2} = |\overline{a}|^2\).
Саволи 22. Исбот кунед, ки барои вектори дилхоҳи \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\)
\[(\overline{a} + \overline{b})\overline{c} = \overline{a}\overline{c} + \overline{b}\overline{c}.\]
Ҷавоб. Аз таърифи ҳосили зарби скалярии векторҳо натиҷа мебарояд, ки барои векторҳои дилхоҳи \(\overline{a}(a_1;a_2) , \overline{b}(b_1;b_2) , \overline{c}(c_1;c_2)\)
\[(\overline{a} + \overline{b})\overline{c} = \overline{a}\cdot\overline{c} + \overline{b}\cdot\overline{c}.\]
Ҳақиқатан, қисми чапи баробарӣ \((a_1 + b_1) c_1 + (a_2 + b_2) c_2\) ва қисми росташ \(a_1c_1 + a_2c_2 + b_1 c_1 + b_2c_2\) мебошад. Ин қисмҳо баробаранд.
Саволи 23. Кунҷи байни векторҳо чӣ тавр муайян карда мешавад?
Ҷавоб. Кунҷи байни векторҳои ғайрисифрии \(\overline{AB}\) ва \(\overline{AC}\) гуфта кунҷи \(BAC\)–ро меноманд. Кунҷи байни ду вектори ғайрисифрии дилхоҳи \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) гуфта кунҷи байни векторҳои ба онҳо баробари дорои ибтидои умумиро меноманд.
Саволи 24. Кунҷи байни векторҳое, ки самти якхела доранд, ба чӣ баробар аст?
Ҷавоб. Кунҷи байни векторҳои самташон якхела баробари сифр аст.
Саволи 25. Исбот кунед: зарби скалярии векторҳо ба ҳосили зарби бузургии мутлақи онҳо бар косинуси кунҷи байни онҳо баробар аст.
Ҷавоб. Теоремаи 10.3. Зарби скалярии векторҳо ба ҳосили зарби бузургии мутлақи онҳо бар косинуси кунҷи байни онҳо баробар аст.
Исбот. Бигзор \(\overline{a}\) ва \(\overline{b}\) векторҳои додашуда ва \(\gamma\) кунҷи байни онҳо бошад. Чунин ифодаро ҳосил мекунем:
\begin{multline}
(\overline{a} + \overline{b})^2 = (\overline{a} + \overline{b})(\overline{a} + \overline{b}) = (\overline{a} + \overline{b})\overline{a} + (\overline{a} + \overline{b})\overline{b} = \\
\overline{a}\overline{a} + \overline{b}\overline{a} + \overline{a}\overline{b} + \overline{b}\overline{b} = \overline{a^2} + 2\overline{a}\overline{b} + \overline{b^2},
\end{multline}
ё
\[|\overline{a} + \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2\overline{a}\overline{b}.\]
Аз ин ҷо намоён, ки ҳосили зарби скалярии \(\overline{a}\overline{b}\) ба воситаи дарозии векторҳои \(\overline{a}, \overline{b}\) ва \(\overline{a} + \overline{b}\) ифода мешавад, бинобар ин он аз интихоби системаи координатаҳо вобаста нест. Яъне агар системаи координатаҳоро махсус интихоб намоем, ҳосили зарби скалярӣ тағйир намеёбад. Системаи координатаҳои \(xy\)-ро, чунон ки дар расми 225 ҳаст, интихоб мекунем. Ҳангоми ин тавр интихоб кардани системаи координатаҳо \(\overline{a}\) ва \(0\) координатаҳои вектори \(a\) а ва \(\overline{b}\cos\varphi\) ва \(\overline{b}\sin\varphi\) координатаҳои вектори \(\overline{b}\) мешавад.
Ҳосили зарби скалярии
\[\overline{a}\overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}|\cos\varphi + 0\overline{b}\sin\varphi = |\overline{a}||\overline{b}|\cos\varphi.\]
Теорема исбот шуд.
Саволи 26. Исбот кунед: агар векторҳо перпендикуляр бошанд, он гоҳ ҳосили зарби скалярии онҳо баробари сифр аст. Ва баръакс: агар ҳосили зарби скалярии векторҳои ғайрисифрӣ баробари сифр бошад, он гоҳ ин векторҳо перпендикуляр мебошанд.
Ҷавоб. Аз теоремаи 10.3 натиҷа мебарояд, ки агар векторҳо перпендикуляр бошанд, он гоҳ ҳосили зарби скалярии онҳо баробари сифр аст. Ва баръакс: агар ҳосили зарби скалярии векторҳои ғайрисифрӣ баробари сифр бошад, он гоҳ ин векторҳо перпендикуляр мебошанд. Эзоҳ: \(\cos 90^\circ = 0\) аст.
