Баробарии секунҷаҳоро аз рӯи медианаҳо ва кунҷҳое, ки медиана кунҷи секунҷаро ба онҳо тақсим мекунад, исбот намоед.
Ҳал. Бигзор секунҷаҳои \(ABC\) ва \(A_1B_1C_1\) дода шуда бошанд.
Бигзор порчаи \(AD\) медианаи аз қуллаи \(A\)-и \(\triangle ABC\) ба тарафи \(BC\)-и ин секунҷа гузаронидашуда бошад.
Бигзор порчаи \(A_1D_1\) медианаи аз қуллаи \(A_1\)-и \(\triangle A_1B_1C_1\) ба тарафи \(B_1C_1\)-и ин секунҷа гузаронидашуда бошад.
Мувофиқи шарти масъала баробариҳои зерин ҷой доранд:
\(\angle CAD = \angle C_1A_1D_1\)
\(\angle BAD = \angle B_1A_1D_1\)
\(AB = A_1B_1\)
Дар нури \(AD\) нуқтаи \(E\)-ро ҳамин тавр қайд мекунем, ки \(AD = ED\) бошад.
Азбаски кунҷҳои \(CDE\) ва \(BDA\) вертикалӣ мебошанд, пас \(\angle CDE = \angle BDA\) аст.
Аз медиана будани порчаи \(AD\) мебарояд, ки \(CD = BD\).
Аз \(CD = BD, AD = ED, \angle CDE = \angle BDA\) мувофиқи аломати якуми баробарии секунҷаҳо мебарояд, ки \(\triangle ADB = \triangle EDC\).
Дар нури \(A_1D_1\) нуқтаи \(E_1\)-ро ҳамин тавр қайд мекунем, ки \(A_1D_1 = E_1D_1\) бошад.
Ба монанди болоӣ нишон додан мумкин аст, ки \(\triangle A_1D_1B_1 = \triangle E_1D_1C_1\).
Аён аст, ки \(\angle CEA = \angle CED\) ва \(\angle C_1E_1A_1 = \angle C_1E_1D_1\).
Аз \(\triangle ADB = \triangle EDC\) мебарояд, ки \(\angle CED = \angle BAD\).
Аз \(\triangle A_1D_1B_1 = \triangle E_1D_1C_1\) мебарояд, ки \(\angle C_1E_1D_1 = \angle B_1A_1D_1\).
Пас, \(\angle CEA = \angle BAD = \angle B_1A_1D_1 = \angle C_1E_1A_1\). Яъне \(\angle CEA = \angle C_1E_1A_1\).
\(AE = 2AD = 2A_1D_1 = A_1E_1\). Яъне \(AE = A_1E_1\).
\(\angle CAE = \angle CAD = \angle C_1A_1D_1 = \angle C_1A_1E_1\). Яъне \(\angle CAE = \angle C_1A_1E_1\).
Аз \(\angle CEA = \angle C_1E_1A_1\), \(\angle CAE = \angle C_1A_1E_1\), \(AE = A_1E_1\) мувофиқи аломати дуюми баробарии секунҷаҳо мебарояд, ки \(\triangle CAE = \triangle C_1A_1E_1\). Аз ин ҷо \(AC = A_1C_1\).
Мувофиқи шарти масъала:
\(\angle CAB = \angle CAD + \angle BAD = \angle C_1A_1D_1 + \angle B_1A_1D_1 = \angle C_1A_1B_1\). Яъне \(\angle CAB = \angle C_1A_1B_1\).
Мувофиқи аломати якуми баробарии секунҷаҳо аз \(AB = A_1B_1, AC = A_1C_1, \angle CAB = \angle C_1A_1B_1\) мебарояд, ки \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Баробарии секунҷаҳои \(ABC\) ва \(A_1B_1C_1\) исбот шуд.
