Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Бо ду мисол татбиқи теоремаҳои 5.1 ва 5.2-ро дида мебароем.
Мисоли 1. Бигзор муодилаи
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + 4\frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} = 0\]
дода шуда бошад. Матритсаи ба ин муодила мувофиқро тартиб медиҳем:
\[A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]
Қиматҳои хоси матритсаи \(A\) ададҳои -1, 1, 3 мебошанд. Пас \(n_+=2, n_-=1,n_0=0\) буда, муодила навъи гиперболӣ дорад.
Шакли квадратии мувофиқро тартиб медиҳем:
\[\sum_{i,j=1}^3 a_{ij} x_i x_j = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2.\]
Ба тағйирёбандаҳои нави \(y_1, y_2, y_3\) гузашта, шакли квадратиро ба намуди каноникӣ меорем. Барои ин чунин табдилдиҳӣ мегузаронем:
\[x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + 2x_2)^2 - (\sqrt{3}x_2)^2 + x_3^2.\]
Агар \(y_1 = x_1 + 2x_2, y_2 = \sqrt{3}x_2, y_3 = x_3\) гирем, шакли квадратӣ намуди каноникии зайлро мегирад:
\[y_1^2 - y_2^2 + y_3^2.\]
Пас,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l l l}
x_1 = y_1 - \frac{2}{\sqrt{3}}y_2 \\
x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}y_2 \\
x_3 = y_3
\end{array} \right.
\end{equation*}
ва
\[B =
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{2}{\sqrt{3}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]
аст. Аз ин ҷо ҳосил мекунем, ки
\[C= B^T =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-\frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]
мебошад. Бинобарон барои муодилаи дифференсиалии додашударо ба намуди каноникӣ овардан аз рӯи формулаҳои
\[\xi_1 = x_1, \xi_2 = - \frac{2}{\sqrt{3}}x_1 + \frac{1}{\sqrt{3}}x_2, \xi_3 = x_3\]
ба тағйирёбандаҳои новобастаи нави \(\xi_1, \xi_2, \xi_3\) гузаштан лозим аст. Дар ҳосилаҳои функсияи \(u\) ба тағйирёбандаҳои \(\xi_1, \xi_2, \xi_3\) мегузарем:
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} = \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_1^2} - \frac{4}{\sqrt{3}}\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_1 \partial \xi_2} + \frac{4}{\sqrt{3}}\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_2^2},\]
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_1 \partial \xi_2} - \frac{2}{3}\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_2^2},\]
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} = \frac{1}{3}\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_2^2}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} = \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi_3^2}.\]
Ин қиматҳоро дар муодила гузошта, ҳосил мекунем:
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi_1^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_2^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_3^2} = 0\]
- намуди каноникии муодила.
