Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Мисоли 2. Дар атрофи нуқтаи (0,1) муодилаи Трикомиро дида мебароем:
\[y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.\]
Дар атрофи нуқтаи мазкур навъи муодила эллипсӣ мебошад. Чунки
\[a(x,y)=y, b(x,y)=0, c(x,y)=1, \Delta(x,y)=-y, \Delta(0,1)=-1<0\]
аст. Дар атрофи ин нуқта муодиларо ба намуди каноникӣ меорем.
Ҳалли умумии муодилаи дифференсиалии
\[\frac{dy}{dx} = \frac{b(x,y)+i\sqrt{|\Delta(x,y)|}}{a(x,y)}\]-ро меёбем:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{i}{\sqrt{y}},\]
\[\frac{2}{3}y^\frac{3}{2} - ix = C.\]
Месанҷем, ки функсияи \(\omega = \frac{2}{3}y^\frac{3}{2} - ix\) дар ягон атрофи нуқтаи \((0,1)\) ҳалли муодилаи
\[\frac{\partial\omega}{\partial x} + \frac{i}{\sqrt{y}}\frac{\partial\omega}{\partial y} = 0\]
шуда, шарти \(\frac{\partial\omega}{\partial y} \neq 0\)-ро қаноат мекунонад ё не:
\[\frac{\partial\omega}{\partial y} = \sqrt{y}, \frac{\partial\omega}{\partial x} = -i, \frac{\partial\omega}{\partial y}(0,1) = 1 \neq 0,\]
\[\frac{\partial\omega}{\partial x} + \frac{i}{\sqrt{y}}\frac{\partial\omega}{\partial y} = -i + \frac{i}{\sqrt{y}}\cdot \sqrt{y} = 0.\]
Пас \(\xi = \frac{2}{3}y^\frac{3}{2}, \eta = -x\) мегирем. Аз рӯи ин формулаҳо дар муодилаи дифференсиалӣ ба тағйирёбандаҳои новобастаи нави \(\xi, \eta\) мегузарем. Барои ин аз формулаҳои (5.11) истифода мебарем:
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2}, \quad
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = y\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{\partial \nu}{\partial \xi}.\]
Ин қиматҳоро дар муодила мегузорем:
\[y\frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} + y\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{\partial \nu}{\partial \xi} = 0,\]
\[\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} + \frac{1}{2y\sqrt{y}}\frac{\partial \nu}{\partial \xi} = 0.\]
Агар \(y=(\frac{3}{2}\xi)^{2/3}\) гузорем, муодила чунин намуд мегирад:
\[\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} + \frac{1}{3\xi}\frac{\partial \nu}{\partial \xi} = 0\]
- намуди каноникии муодила.
