Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Акнун муодилаи дифференсиалии
\(\begin{equation}
(5.9)\qquad a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})=0
\end{equation}\)
-ро дида мебароем. Функсияҳои \(a(x,y), b(x,y), c(x,y)\) дар ягон соҳаи \(\Omega\) муайян буда, ҳосилаҳои бефосилаи тартиби дуюмро доранд. Функсияи \(F\) дар соҳаи \(\Omega\times\mathbb{R}^3\) муайян ва бефосила мебошад.
\[x=x_1 + y_1, \quad y=x_1 - y_1\]
ин шартро таъмин кардан мумкин аст. Минбаъд шарти \(a(x,y)\neq 0 \quad \forall (x,y)\in\Omega_0\)-ро иҷрошуда меҳисобем.
Муодилаҳои дифференсиалии зеринро тартиб медиҳем
\[\frac{dy}{dx}=\frac{b(x,y)\pm\sqrt{\Delta(x,y)}}{a(x,y)}\]
ва ҳал мекунем. Агар \(\varphi(x,y) = C_1, \psi(x,y) = C_2\) ҳалҳои умумии муодилаҳо бошанд, тағйирёбандаҳои нави \(\xi, \eta\)-ро аз рӯи формулаҳои
\[\xi = \varphi(x,y), \quad \eta = \psi(x,y)\]
муайян мекунем. Аз рӯи ин формулаҳо дар муодилаи дифференсиалии (5.9) аз тағйирёбандаҳои новобастаи \(x, y\) ба тағйирёбандаҳои новобастаи нави \(\xi, \eta\) гузаштан лозим аст. Ҳангоми гузариш аз формулаҳои зерини аз курси таҳлили математикӣ маълум истифода бурдан лозим аст:
\[u(x,y) = \nu(\varphi(x,y),\psi(x,y)) = \nu(\xi, \eta),\]
\[\left\{
\begin{array}{l l l l}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \cdot \frac{\partial \nu}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \cdot \frac{\partial \nu}{\partial \eta},\\
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial \xi}{\partial y} \cdot \frac{\partial \nu}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial y} \cdot \frac{\partial \nu}{\partial \eta},\\
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + \left( \frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial \eta}{\partial y} + \frac{\partial \xi}{\partial y}\frac{\partial \eta}{\partial x}\right) \cdot \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi \partial \eta} + \\
+ \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial \eta}{\partial y}\frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} + \frac{\partial^2 \xi}{\partial x \partial y} \frac{\partial \nu}{\partial \xi} + \frac{\partial^2 \eta}{\partial x \partial y} \frac{\partial \nu}{\partial \eta}.\\
\end{array} \right.\]
