Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Теоремаи 5.1. Дар ҳар як нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\in\Omega\) чунин табдилдиҳии ғайримахсуси
\(\begin{equation}
(5.6)\qquad \xi_k = c_{k1}x_1 + ... + c_{kn}x_n, \quad k=\overline{1,n}
\end{equation}\)
-и тағйирёбандаҳои новобаста мавҷуд аст, ки муодилаи (4.1)-ро ба яке аз намудҳои каноникии (5.1) - (5.5) меоварад.
Исбот. Аз рӯи матритсаи \(A(x_1^0, ..., x_n^0)=(a_{ij}^0)_{ij=\overline{1,n}}\) шакли квадратии зеринро тартиб медиҳем:
\(\begin{equation}
(5.7)\qquad \sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}^0 x_i x_j.
\end{equation}\)
Аз алгебраи хаттӣ маълум аст, ки барои шакли квадратии мазкур чунин матритсаи ғайримахсуси \(B=(b_{ij})_{i,j=\overline{1,n}}\) мавҷуд аст, ки ҳангоми иҷрои гузориши
\(\begin{equation}
(5.8)\qquad x_k = b_{k1}y_1 + ... + b_{kn}y_n, \quad k=\overline{1,n}
\end{equation}\)
шакли квадратӣ намуди каноникии зеринро мегирад:
\(\begin{equation}
\sum\limits_{i,j=1}^{n} \xi_k y_k^2,
\end{equation}\)
ки ин ҷо \(m=n_+ + n_-, \varepsilon_k=1\) ё \(1\) буда, шумораи \(\varepsilon_k\)-ҳои мусбат ба \(n_+\) ва манфӣ ба \(n_-\) баробар аст. Пас, агар (5.8)-ро дар (5.7) гузорем:
\(\begin{equation}
\sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}^0 (b_{i1}y_1 + ... + b_{in}y_n)(b_{j1}y_1 + ... + b_{jn}y_n) = \sum\limits_{k,l=1}^{n}\left(\sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}^0 b_{ik} b_{jl}\right)y_k y_l,
\end{equation}\)
бояд баробариҳои зерин ҷой дошта бошанд:
\[\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^0 b_{ik} b_{jl}=
\left\{
\begin{array}{l l l}
0, \quad \text{агар } k \neq l\\
\varepsilon_k, \quad \text{агар } k = l \leq m\\
0, \quad \text{агар } k = l > m.
\end{array} \right.
\]
Матритсаи \(C=(c_{ij})_{i,j=\overline{1,n}}\)-ро чунин интихоб мекунем:
\[c_{ij} = b_{ji}, \quad i,j=\overline{1,n}.\]
Он гоҳ аз рӯи формулаҳои
\[\varepsilon_k = c_{k1}x_1+...+c_{kn}x_n, \quad k=\overline{1,n}\]
дар муодилаи (4.1) ба тағйирёбандаҳои новобастаи нав гузашта, барои функсияи
\[\nu(\xi_1,...,\xi_n)=u(\tilde{c}_{11}\xi_1+...+\tilde{c}_{1n}\xi_n,...,\tilde{c}_{n1}\xi_1+...+\tilde{c}_{nn}\xi_n),\]
ки ин ҷо \(\tilde{c}_{ij}, i,j=\overline{1,n}\) - элементҳои матритса ба \(C\) баръакс мебошанд, ҳосил мекунем:
\[u(x_1,...,x_n)=\nu(c_{11}x_1+...+c_{1n}x_n,...,c_{n1}x_1+...+c_{nn}x_n),\]
\[\frac{\partial u}{\partial x_i}(x_1,...,x_n) = \sum_{k=1}^n\frac{\partial\nu}{\partial\xi_k}(\xi_1,...,\xi_n)\frac{\partial\xi_k}{\partial x_i}, \quad i=\overline{1,n},\]
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}(x_1,...,x_n) = \sum_{k,l=1}^n\frac{\partial^2 \nu}{\partial\xi_k \partial\xi_l} \cdot \frac{\partial\xi_k}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial\xi_l}{\partial x_j}, \quad i,j=\overline{1,n},\]
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^0 \sum_{k,l=1}^n \frac{\partial^2 \nu}{\partial\xi_k \partial\xi_l} \cdot \frac{\partial\xi_k}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial\xi_l}{\partial x_j} + \tilde{F}=0,\]
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^0 \sum_{k,l=1}^n c_{ki}c_{lj}\frac{\partial^2 \nu}{\partial\xi_k \partial\xi_l} + \tilde{F}=0,\]
\[\sum_{k,l=1}^n \left(\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^0 c_{ki} c_{lj}\right)\frac{\partial^2 \nu}{\partial\xi_k \partial\xi_l} + \tilde{F}=0,\]
\[\sum_{k,l=1}^n \left(\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^0 b_{ik} b_{jl}\right)\frac{\partial^2 \nu}{\partial\xi_k \partial\xi_l} + \tilde{F}=0,\]
\[\sum_{k=1}^m \varepsilon_k\frac{\partial^2 \nu}{\partial\xi_k^2} + \tilde{F}=0.\]
Теорема исбот шуд.
