Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Акнун як ҳолати хусусии муодилаи (4.1) муодилаи намуди зеринро дида мебароем:
\(\begin{multline}
(4.2)\qquad a(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \Phi(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}) = 0, \\ (x,y)\in\Omega, \quad \Omega\subseteq\mathbb{R}^{2},
\end{multline}\)
ки ин ҷо \(|a(x,y)|+|b(x,y)|+|c(x,y)|>0, (x,y)\in\Omega\) мебошад. Матритсаи ба ин муодила мувофиқ чунин намуд дорад:
\[A(x,y) =
\begin{pmatrix}
a(x,y) & b(x,y) \\
b(x,y) & c(x,y)
\end{pmatrix}.\]
Барои нуқтаи \((x_0,y_0)\in\Omega\) қиматҳои хоси матритсаи \(A^0=A(x_0,y_0)\)-ро меёбем:
\[det(A^0 - \lambda E) = 0,\]
\[det
\begin{pmatrix}
a(x_0,y_0)-\lambda & b(x_0,y_0) \\
b(x_0,y_0) & c(x_0,y_0)-\lambda
\end{pmatrix}
=0,\]
\[\lambda^2 - (a(x_0,y_0) + c(x_0,y_0))\lambda + a(x_0,y_0)c(x_0,y_0) - b^2(x_0,y_0)=0,\]
\(\begin{multline*}
D(x_0,y_0) = (a(x_0,y_0)+c(x_0,y_0))^2 + 4(b^2(x_0,y_0) - a(x_0,y_0)c(x_0,y_0)) = \\
= 4b^2(x_0,y_0) + (a(x_0,y_0)-c(x_0,y_0))^2\ge 0,
\end{multline*}\)
\[\lambda_{1,2} = \frac{a(x_0,y_0)+c(x_0,y_0) \pm \sqrt{D(x_0,y_0)}}{2}.\]
Аз ин ҷо аён мегардад, ки
1) \(n_0 = 0, n_+ = 1\) аст, агар \(b^2-ac>0\) бошад;
2) \(n_0=1\) аст, агар \(b^2-ac=0\) бошад;
3) \(n_0 = 0, n_+ = 0\) ё \(n_0 = 0, n_- = 0\) аст, агар \(b^2-ac<0\) бошад.
Пас, муодилаи (4.2) дар нуқтаи \((x_0,y_0)\in\Omega\)
1) навъи гиперболӣ дорад, агар \(\Delta(x_0,y_0)\equiv b^2(x_0,y_0) - a(x_0,y_0)c(x_0,y_0)>0\) бошад.
2) навъи параболӣ дорад, агар \(\Delta(x_0,y_0)=0\) бошад.
3) навъи эллипсӣ дорад, агар \(\Delta(x_0,y_0)<0\) бошад.
Ҳамин тариқ, дар ҳар як нуқтаи \((x_0,y_0)\in\Omega\) муодилаи (4.2) фақат яке аз се навъҳои гиперболӣ, параболӣ, эллипсиро дошта метавонад.
Навъи ҳаргуна муодилаи намуди (4.2)-ро тавассути аломати ифодаи
\[\Delta(x,y)\equiv b^2(x,y) - a(x,y)c(x,y)\]
муайян кардан бисёр қулай мебошад. Ҳангоми доимӣ будани функсияҳои \(a(x,y), b(x,y), c(x,y)\) дар дилхоҳ соҳаи \(\Omega\) муодила яке аз се навъҳои гиперболӣ, параболӣ, эллипсиро дошта метавонад. Аз ин рӯ, новобаста аз соҳа дар бораи навъи муодилаи (4.2)-и коэффитсиентҳояш доимӣ муҳокима рондан маъно дорад.
