Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.

Якчанд мисолҳоро дида мебароем.

Мисоли 1. Муодилаи лаппишро дида мебароем:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}\right), \quad t>0, \quad (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^{n}.\]

Дар ҳар як нуқтаи \((t,x_1,...,x_n)\in\Omega=(0;+\infty)\times\mathbb{R}^{n}\) матритсаи ба он мувофиқ чунин намуд дорад:

\[A =
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & -a^2 & \cdots & 0 \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  0 & 0 & \cdots & -a^2
\end{pmatrix}\]

Қиматҳои хос аз ададҳои \(1,-a^2,...,-a^2\) иборатанд. Пас, \(n_+ = 1, n_0 = 0\) буда, дар соҳаи \(\Omega\) муодилаи лаппиш навъи гиперболӣ дорад.

Мисоли 2. Барои муодилаи гармипаҳншавӣ

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}, \quad t>0, \quad (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^{n}.\]

матритсаи ба он мувофиқ

\[A =
 \begin{pmatrix}
  0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
  0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  0 & 0 & \cdots & 0 & -1
 \end{pmatrix}\]

буда, \(n_0 = 1\) аст. Пас, муодилаи гармипаҳншавӣ навъи параболӣ дорад.

Мисоли 3. Муодилаи Пуассон

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=f(x_1,...,x_n), \quad (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^{n}\]

навъи эллипсӣ дорад. Чунки матритсаи ба он мувофиқ матритсаи воҳидӣ буда, \(n_0 = 0, n_- = 0\) аст.

Мисоли 4. Муодилаи

\[y\frac{\partial^2 u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u }{\partial y^2} = 0, \quad (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\]

-ро дида мебароем, ки муодилаи Трикоми меноманд. Матритсаи ба ин муодила мувофиқро тартиб медиҳем:

\[A(x,y) =
 \begin{pmatrix}
  y & 0 \\
  0 & 1
 \end{pmatrix}.\]

Дар нуқтаи \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\):

1) \(n_0 = 0, n_ = 0\) аст, агар \(y > 0\) бошад;

2) \(n_0=1\) аст, агар \(y=0\) бошад;

3) \(n_0 = 0, n_+ = 1\) аст, агар \(y<0\) бошад.

Пас, муодилаи Трикоми навъи омехта дорад.