Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Якчанд мисолҳоро дида мебароем.
Мисоли 1. Муодилаи лаппишро дида мебароем:
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}\right), \quad t>0, \quad (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^{n}.\]
Дар ҳар як нуқтаи \((t,x_1,...,x_n)\in\Omega=(0;+\infty)\times\mathbb{R}^{n}\) матритсаи ба он мувофиқ чунин намуд дорад:
\[A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -a^2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -a^2
\end{pmatrix}\]
Қиматҳои хос аз ададҳои \(1,-a^2,...,-a^2\) иборатанд. Пас, \(n_+ = 1, n_0 = 0\) буда, дар соҳаи \(\Omega\) муодилаи лаппиш навъи гиперболӣ дорад.
Мисоли 2. Барои муодилаи гармипаҳншавӣ
\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}, \quad t>0, \quad (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^{n}.\]
матритсаи ба он мувофиқ
\[A =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & -1
\end{pmatrix}\]
буда, \(n_0 = 1\) аст. Пас, муодилаи гармипаҳншавӣ навъи параболӣ дорад.
Мисоли 3. Муодилаи Пуассон
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=f(x_1,...,x_n), \quad (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^{n}\]
навъи эллипсӣ дорад. Чунки матритсаи ба он мувофиқ матритсаи воҳидӣ буда, \(n_0 = 0, n_- = 0\) аст.
Мисоли 4. Муодилаи
\[y\frac{\partial^2 u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u }{\partial y^2} = 0, \quad (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\]
-ро дида мебароем, ки муодилаи Трикоми меноманд. Матритсаи ба ин муодила мувофиқро тартиб медиҳем:
\[A(x,y) =
\begin{pmatrix}
y & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.\]
Дар нуқтаи \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\):
1) \(n_0 = 0, n_ = 0\) аст, агар \(y > 0\) бошад;
2) \(n_0=1\) аст, агар \(y=0\) бошад;
3) \(n_0 = 0, n_+ = 1\) аст, агар \(y<0\) бошад.
Пас, муодилаи Трикоми навъи омехта дорад.
