Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.

Мисоли 1. Барои муодилаи Лаплас

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ ... + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0\]

муодилаи характеристикӣ чунин намуд дорад:

\[y_1^2+...+y_n^2=0.\]

Агар сатҳи \(F(x_1,...,x_n)=0\) характеристикаи муодилаи Лаплас бошад, бояд дар ҳар як нуқтаи сатҳ шартҳои зерин иҷро шаванд:

\[\nabla F \neq 0, \quad \left(\frac{\partial F}{\partial x_1}\right)^2 + ... +\left(\frac{\partial F}{\partial x_n}\right)^2=0,\]

ки ин имконнопазир аст. Пас, муодилаи Лаплас сатҳи характеристикӣ надорад.

Мисоли 2. Муодилаи лаппиши озоди тор

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

муодилаи характеристикии

\[y_1^2-a^2y_2^2=0.\]

-ро дорад. Барои характеристика чунин шартҳоро ҳосил мекунем:

\[F(t,x)=0, \quad \bigg|\frac{\partial F}{\partial t}\bigg|+\bigg|\frac{\partial F}{\partial x}\bigg|>0, \quad
\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)^2-a^2\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2=0,\]

аз ин ҷо

\[F(t,x)=0, \quad \frac{\partial F}{\partial t} = \pm a\frac{\partial F}{\partial x}, \quad \frac{\partial F}{\partial t}\neq 0.\]

Агар \(F(t,x)=x^2-a^2t^2\) гирем, хатҳои рости

\[x=at, \quad x=-at\]

характеристикаи муодила мешаванд.

Мисоли 3. Муодилаи гармипаҳншавиро дида мебароем:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ ... + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}.\]

Барои характеристика чунин шартҳоро ҳосил мекунем:

\[F(t,x_1,...,x_n)=0,\]

\[\bigg|\frac{\partial F}{\partial t}\bigg|+\bigg|\frac{\partial F}{\partial x_1}\bigg|+...+\bigg|\frac{\partial F}{\partial x_n}\bigg|>0,\]

\[\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}\right)^2 + ... +\left(\frac{\partial F}{\partial x_n}\right)^2=0.\]

Пас, \(F(t)=0\) аст. Яъне ҳаргуна маҷмӯи

\[L_c=\{(t,x_1,...,x_n): t=c, (x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n\},\]

ки гиперҳамвории \(t=c\) номида мешавад, характеристикаи муодилаи гармипаҳншавӣ шуда метавонад.