Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.

Бисёре аз ҳодисаҳои лаппиш ба муодилаи намуди зерин меоваранд:

\(\begin{equation}
(1.1)\qquad\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(p\frac{\partial u}{\partial x_1})+ ... +\frac{\partial}{\partial x_n}(p\frac{\partial u}{\partial x_n}) -qu+F,
\end{equation}\)

ки дар ин ҷо \(u(t,x_1,...,x_n)\) функсияи номаълум мебошад. Тағйирёбандаи новобастаи \(t\) вақтро ифода менамояд ва \(t>0\) аст. Тағйирёбандаҳои новобастаи \(x_1,...,x_n\) аз ягон маҷмӯъ қимат қабул намуда, андозаҳои фазои ҷисм ё муҳити лаппандаро ифода мекунанд.

Муодилаи (1.1)-ро муодилаи лаппиш низ меноманд. Дар он коэффитсиентҳои \(\rho, p, q\) шояд аз тағйирёбандаҳои \(t,x_1,...,x_n\) вобаста буда, тавсифдиҳандаҳои муҳите мебошанд, ки дар он лаппиш рӯй медиҳад. Функсияи \(F(t,x_1,...,x_n)\) таъсири қувваҳои беруниро ифода менамояд.

Агар дар муодилаи лаппиш \(n=1\) бошад, он гоҳ муодилаи

\(\begin{equation}
(1.2)\qquad\rho\frac{\partial u}{\partial t^2}=\frac{\partial}{\partial x}(p\frac{\partial u}{\partial x})-qu+F(t,x)
\end{equation}\)

ҳосил мешавад. Ин муодила ҳодисаи лаппиши тор (ресмон)-ро ифода мекунад. Тағйирёбандаи \(x\) нуқтаҳои тори лаппандаро ифода менамояд. Агар барои ягон қиматҳои \(t=t_0, x=x_0\) функсияи \(u\) қимати \(u_0\)-ро қабул кунад, пас ин чунин маъно дорад, ки дар нуқтаи \(x_0\)-и тор дар лаҳзаи вақти \(t_0\) тор аз ҳолати мувозинат ба андозаи \(u_0\) воҳид фарқ мекунад.

Функсияи \(u(t,x)\)-ро донем, пас мо гуфта метавонем, ки дар дилхоҳ лаҳзаи вақти \(t\) дар дилхоҳ нуқтаи \(x\)-и тор ҳолати торро медонем. Дар амалия ин бузургиро бевосита муайян кардан ғайриимкон аст. Лекин муодилаи дифференсиалии бузургии \(u\) қонеъ мекунондагиро тартиб додан мумкин аст. Ин муодила намуди (1.2)-ро дорад.

Агар дар муодилаи (1.2) тағйирёбандаи \(x\) дар фосилаи \((-\infty, +\infty)\) тағйир ёбад, он гоҳ мегӯянд, ки муодилаи (1.2) ҳодисаи лаппиши тори номаҳдудро ифода мекунад.

Агар \(x\) дар фосилаи \((0, +\infty)\) тағйир ёбад, муодилаи (1.2)-ро муодилаи лаппиши тори ниммаҳдуд меноманд.

Агар \(x\) дар фосилаи \((0, l)\) тағйир ёбад, муодилаи (1.2)-ро муодилаи лаппиши тори дарозиаш \(l\) меноманд.

Дар амалия тори номаҳдуд ё ниммаҳдуд нест. Агар тор бениҳоят дароз буда, канорҳояш ба лаппиши тор кам таъсир дошта бошанд, он гоҳ канорҳоро беохир дур ҳисобидан мумкин аст.

Дар ҳолати \(F(t,x)\equiv 0\) будан, муодилаи (1.2)-ро муодилаи лаппиши озоди тор меноманд.

Агар дар (1.1) \(n=2\) бошад, он гоҳ муодилаи

\(\begin{equation}
(1.3)\qquad\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(p\frac{\partial u}{\partial x_1})+\frac{\partial}{\partial x_2}(p\frac{\partial u}{\partial x_2}) -qu+F(t,x_1,x_2)
\end{equation}\)

ҳосил мешавад, ки ҳодисаи лаппиши пластина ё мембранаро ифода менамояд. Қиматҳое, ки тағйирёбандаҳои \(x_1,x_2\) қабул мекунанд, дар маҷмӯъ андозаи мембранаи лаппандаро тавсиф медиҳанд.

Агар \(n=3\) бошад, муодилаи (1.1) ҳодисаҳои лаппиши ҷисмҳои сеченака ва паҳншавии мавҷҳоро дар фазо ифода мекунад.

Шакли маъмули муодилаи (1.1), ки минбаъд бештар мавриди омӯзиш қарор мегирад, чунин мебошад:

\(\begin{equation}
(1.4)\qquad\square_a u\equiv \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f(t,x_1,...,x_n),
\end{equation}\)

ки дар ин ҷо

\[\Delta u\equiv \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ ... +\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2},\]

буда, оператори Лаплас номида мешавад. Ифодаи \(\square_a u\)-ро оператори мавҷӣ ё оператори Д'Аламбер меноманд.

Аз нуқтаи назари физика тадқиқи пурраи ҳодисаҳои зикршуда тавассути муодилаи (1.1) бидуни маълумоти иловагӣ оид ба ҳолатҳои ҳодисаҳо дар лаҳзаи аввали вақт ва қонунияти тағйирёбии канорҳои ҷисмҳои лаппанда аз имкон берун аст. Бинобарон муодилаи (1.1)-ро одатан бо шатрҳои иловагӣ меомӯзанд.

Шартҳои иловагӣ ба ду гурӯҳ ҷудо мешаванд: шартҳои аввала ва шартҳои канорӣ.

Шартҳои аввала ҳолати аввалаи ҳодисаи тадқиқшавандаро ифода менамоянд. Барои муодилаи (1.1) шартҳои аввала чунин намуд доранд:

\[u(t,x_1,...,x_n)\big|_{t=0}=\varphi(x_1,...,x_n),\]

\[\frac{\partial u}{\partial t}(t,x_1,...,x_n)\big|_{t=0}=\psi(x_1,...,x_n),\]
ки дар ин ҷо \(\varphi, \psi\) функсияҳои маълум мебошанд. Функсияи \(\varphi\) ҳолати аввала ва функсияи \(\psi\) суръати аввалаи ҷисми лаппандаро ифода мекунанд. Масалан, агар барои муодилаи лаппиши тор (1.2) чунин шартҳои аввала гузошта шуда бошанд:

\(u(0,x)= \left\{
\begin{array}{l l}
2x, & 0\leq x \leq 1\\
2, & 1< x \leq 2,
\end{array} \right.\)

\(\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)= \left\{
\begin{array}{l l}
x, & 0\leq x \leq 1\\
1, & 1< x \leq 2,
\end{array} \right.\)

пас ин чунин маъно дорад, ки дар лаҳзаи вақти \(t=0\) тори дарозиаш \(l=2\) шакли зерин дошта

суръати аввалаи ҳар як нуқтаи \(x\)-и тор вобаста дар кадоме аз фосилаҳои \([0;1], (1;2]\) хобиданаш ба \(x\) ё 1 баробар аст. Яъне ин шартҳо ҳолати торро дар лаҳзаи аввали вақт тавсиф медиҳанд.

Шартҳои канорӣ қонунияти тағйирёбии канорҳои ҷисми лаппандаро ҳангоми лаппиш ифода мекунанд. Масалан, агар \(x=0\) яке аз канорҳои тори лаппанда буда, дар ҳар як лаҳзаи вақти \(t\) аз ҳолати мувозинаташ ба андозаи \(\mu(t)\) воҳид фарқ кунад, чунин шарти канорӣ мегузоранд:

\(\begin{equation}
(1.5)\qquad u(t,0)=\mu(t),\quad t\geq 0.
\end{equation}\)

Агар ба канори чапи тор ягон қуввае таъсир намояд, он гоҳ шарти канории зеринро мегузоранд:

\(\begin{equation}
(1.6)\qquad\frac{\partial u}{\partial x}(t,x)\big|_{x=0}=\nu(t),\quad t\geq 0.
\end{equation}\)

Ин ҷо функсияи \(\nu(t)\) маълум буда, аз рӯи қувваи ба канори чап таъсиркунанда муайян карда мешавад. Шарти канорӣ дар шакли зайл низ дода шуданаш мумкин аст:

\(\begin{equation}
(1.7)\qquad\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\sigma u \right)\bigg|_{x=0}=\nu(t),\quad t\geq 0.
\end{equation}\)

Айнан ҳамин гуна шартҳоро дар канори рости тор гузоштан мумкин аст.