Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Теоремаи 5.2. Бигзор муодилаи (5.9) дар ягон атрофи нуқтаи \((x_0,y_0)\in\Omega\) яке аз навъҳои гиперболӣ, параболӣ, эллипсиро дошта бошад. Он гоҳ чунин функсияҳои дар атрофи нуқтаи \((x_0,y_0)\) ду маротиба бефосила дифференсиронидашавандаи \(\varphi(x,y), \psi(x,y)\) мавҷуданд, ки дар ин атроф
\[\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial y} - \frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial x} \neq 0\]
буда, тавассути гузориши
\(\begin{equation}
(5.10)\qquad\xi = \varphi(x,y), \eta = \psi(x,y)
\end{equation}\)
муодилаи (5.9) ба намуди каноникӣ оварда мешавад.
Теоремаи 5.1 ба намуди каноникӣ овардани муодиларо дар нуқта тасдиқ мекунад. Теоремаи 5.2 бошад, ба намуди каноникӣ овардани муодиларо дар атрофи нуқта тасдиқ мекунад, ба шарте ки дар нуқтаҳои ин атроф навъи муодила якхела бошад. Ҳангоми \(n>2\) будан, барои муодилаи (4.1) тасдиқоти ба теоремаи 5.2 монанд ба таври умум ҷой надорад.
Ба исботи теоремаи 5.2 машғул нашуда, танҳо тарзҳои ёфтани гузориши (5.10)-ро вобаста ба аломати функсияи
\[\Delta(x,y)\equiv b^2(x,y)-a(x,y)c(x,y)\]
дар атрофи нуқтаи \((x_0,y_0)\) шарҳ медиҳем.
Бигзор дар ягон атрофи \(\Omega_0\)-и нуқтаи \((x_0,y_0)\) муодилаи (5.9) навъи гиперболӣ дошта бошад:
\[\Delta(x,y)>0, \quad (x,y)\in\Omega_0\]
Шарти \(\forall (x,y)\in\Omega_0 \,\, a(x,y)\neq 0\) ё \(\forall (x,y)\in\Omega_0 \,\, c(x,y)\neq 0\)-ро ҷой дошта ҳисобидан мумкин аст. Агар ин тавр набошад, тавассути гузаштан ба тағйирёбандаҳои нави \(x_1, y_1\):
\(\begin{equation}
(5.11)\qquad\left\{
\begin{array}{l l l l}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2 \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi \partial \eta} + \\
+\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)^2 \frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} + \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \frac{\partial \nu}{\partial \xi} + \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} \frac{\partial \nu}{\partial \eta},\\
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial \xi}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial y} \frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi \partial \eta} + \\
+\left(\frac{\partial \eta}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} + \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2} \frac{\partial \nu}{\partial \xi} + \frac{\partial^2 \eta}{\partial y^2} \frac{\partial \nu}{\partial \eta}.\\
\end{array} \right.
\end{equation}\)
Дар натиҷа муодилаи намуди зерин ҳосил мешавад:
\(\begin{equation}
(5.12)\qquad\frac{\partial \nu}{\partial \xi \partial \eta} + \Phi_1(\xi, \eta, \nu, \frac{\partial \nu}{\partial \xi}, \frac{\partial \nu}{\partial \eta})=0.
\end{equation}\)
Аз ин муодила тавассути гузориши
\[\xi = \xi_1 + \eta_1, \eta = \xi_1 - \eta_1,\]
\[\nu(\xi,\eta) = \nu(\xi_1 + \eta_1, \xi_1 - \eta_1) = \omega(\xi_1, \eta_1)\]
муодилаи намуди
\(\begin{equation}
(5.13)\qquad\frac{\partial^2 \omega}{\partial \xi^2_1} - \frac{\partial^2 \omega}{\partial \eta^2_1} = \Phi_2(\xi_1, \eta_1, \omega, \frac{\partial \omega}{\partial \xi_1}, \frac{\partial \omega}{\partial \eta_1})
\end{equation}\)
ҳосил мешавад. Муодилаҳои (5.12), (5.13) намудҳои каноникии муодилаи навъи гиперболӣ номида мешаванд.
Бигзор
\[\Delta(x,y)=0, \quad (x,y)\in\Omega_0\]
бошад. Муодилаи дифференсиалии
\[\frac{dy}{dx} = \frac{b(x, y)}{a(x, y)}\]
-ро ҳал мекунем. Агар \(\varphi_0(x, y) = C\) ҳалли умумии муодила бошад, дар гузориши \eqref{eq:b1_5_10} ба сифати \(\varphi(x, y)\) функсияи \(\varphi_0(x, y)\)-ро мегирем. Ба сифати \(\psi(x, y)\) ягон функсияи ду маротиба дар \(\Omega_0\) дифференсиронидашавандаеро интихоб мекунем, ки шарти
\(\begin{equation}
(5.14)\qquad\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial \psi}{\partial y} - \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial x} \neq 0 \quad \forall (x,y)\in\Omega_0
\end{equation}\)
-ро қаноат кунонад. Он гоҳ тавассути гузориши (5.10), бо истифода аз формулаҳои (5.11) намуди каноникии муодилаи навъи параболӣ ҳосил мешавад:
\[\frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} = \Phi_3(\xi, \eta, \nu, \frac{\partial \nu}{\partial \xi}, \frac{\partial \nu}{\partial \eta}).\]
Агар \(c(x,y)\neq 0 \,\, \forall (x,y)\in\Omega_0\) ва \(\psi_0(x,y)=C\) ҳалли умумии муодилаи
\[\frac{dy}{dx} = \frac{b(x, y)}{c(x, y)}\]
бошанд, ба сифати \(\psi(x,y)\) функсияи \(\psi_0(x,y)\)-ро мегирем. Ба сифати \(\psi(x,y)\) ягон функсияи шарти (5.14)-ро қаноат мекунондагиро мегирем. Дар натиҷа тавассути гузориши (5.10) муодилаи намуди каноникии зеринро ҳосил мекунем:
\[\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} = \Phi_4(\xi, \eta, \nu, \frac{\partial \nu}{\partial \xi}, \frac{\partial \nu}{\partial \eta}).\]
Бигзор \(\Delta(x,y)<0, \,\, (x,y)\in\Omega_0\) бошад. Чунин ҳалли \(\omega(x,y)\)-и муодилаи дифференсиалии
\(\begin{equation}
(5.15)\qquad\frac{\partial \omega}{\partial x} + \frac{b(x,y)+i\sqrt{|\Delta(x,y)|}}{a(x,y)}\frac{\partial \omega}{\partial y} = 0
\end{equation}\)
-ро меёбем, ки дар \(\Omega_0\) шарти \(\frac{\partial \omega}{\partial y}\neq 0\)-ро қаноат кунонад. Яке аз тарзҳои маъмули ёфтани функсияи \(\omega(x,y)\) чунин мебошад:
1) муодилаи дифференсиалии оддии
\[\frac{dy}{dx} = \frac{b(x,y)+i\sqrt{|\Delta(x,y)|}}{a(x,y)}\]
-ро тартиб дода, ҳалли умумияшро меёбанд;
2) агар \(\omega(x,y)=C\) ҳалли умумии ин муодила бошад, месанҷанд, ки функсияи \(\omega(x,y)\) ҳалли муодилаи (5.15) шуда, шарти \(\frac{\partial \omega}{\partial y} \neq 0\)-ро қаноат мекунонад ё не.
Агар \(\omega(x,y) = \varphi_1(x,y) + i\psi_1(x,y)\) ҳалли шарти \(\frac{\partial \omega}{\partial y} \neq 0\)-ро қонеъкунандаи муодилаи (5.15) бошад, дар гузориши (5.10) ба сифати функсияҳои \(\varphi, \psi\) мувофиқан функсияҳо \(\varphi_1, \psi_1\)-ро мегирем. Дар натиҷаи гузориши (5.10) намуди каноникии муодилаи навъи эллипсӣ ҳосил мешавад:
\[\frac{\partial^2 \nu}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 \nu}{\partial \eta^2} = \Phi_5(\xi, \eta, \nu, \frac{\partial \nu}{\partial \xi}, \frac{\partial \nu}{\partial \eta}).\]
