Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.
Муодилаи дифференсиалии намуди зеринро дида мебароем:
\(\begin{equation}
(4.1)\qquad\sum\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x_1,...,x_n)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + F(x_1,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},...,\frac{\partial u}{\partial x_n})=0,
\end{equation}\)
ки дар ин ҷо функсияҳои \(a_{ij}, i,j=\overline{1,n}\) дар ягон соҳаи \(\Omega\), функсияи \(F\) дар соҳаи \(Q=\Omega\times\mathbb{R}^{1+n}\) муайян мебошанд ва
\[a_{ij}(x_1,...,x_n)=a_{ji}(x_1,...,x_n), \quad (x_1,...,x_n)\in\Omega, \quad i,j=\overline{1,n}\]
аст. Аз рӯи коэффитсиентҳои \(a_{ij}\) матритса-функсияи \(A(x_1,...,x_n)=(a_{ij})_{i,j=\overline{1,n}}\)-ро тартиб медиҳем. Дар ҳар як нуқтаи \((x_1^0,...,x_n^0)\) матритсаи симметрии
\[A^0=A(x_1^0,...,x_n^0)\]
бо назардошти каратнокиҳояшон расо \(n\)-то қиматҳои хоси ҳақиқӣ дорад.
Чунин ишораҳоро дохил мекунем:
\(n_+\) - шумораи қиматҳои хоси мусбати матритсаи \(A^0\),
\(n_-\) - шумораи қиматҳои хоси манфии матритсаи \(A^0\),
\(n_0\) - шумораи қиматҳои хоси нулии матритсаи \(A^0\).
Ин ҷо шумораи қиматҳои хосро бо назардошти каратнокиҳояшон ба ҳисоб мегирем. Аён аст, ки \(n_+ + n_- + n_0 = n\) мебошад.
Агар \(n_0 = 0, n_+ = 0\) ё \(n_0 = 0, n_- = 0\) бошад, мегӯянд, ки дар нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\) муодилаи (4.1) навъи эллипсӣ дорад.
Агар \(n_0 = 0, n_+ = 1\) ё \(n_0 = 0, n_- = 1\) бошад, мегӯянд, ки дар нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\) муодилаи (4.1) навъи гиперболӣ дорад.
Агар \(n_0 = 0, n_+ > 1, n_- > 1\) бошад, мегӯянд, ки дар нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\) муодилаи (4.1) навъи ултрагиперболӣ дорад.
Агар \(n_0 = 1\) бошад, мегӯянд, ки дар нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\) муодилаи (4.1) навъи параболӣ дорад.
Агар \(n_0 > 1\) бошад, мегӯянд, ки дар нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\) муодилаи (4.1) навъи ултрапараболӣ дорад.
Ҳамин тариқ, дар ҳар як нуқтаи \((x_1^0, ..., x_n^0)\in\Omega\) муодилаи (4.1) яке аз панҷ навъҳои дар боло зикршударо дорад.
Агар дар ҳар як нуқтаи соҳаи \(\Omega\) муодилаи (4.1) навъи эллипсӣ (гиперболӣ, ултрагиперболӣ, параболӣ, ултрапараболӣ) дошта бошад, он гоҳ мегӯянд, ки муодилаи (4.1) дар соҳаи \(\Omega\) навъи эллипсӣ (гиперболӣ, ултрагиперболӣ, параболӣ, ултрапараболӣ) дорад.
Агар ақаллан дар ду нуқтаҳои соҳаи \(\Omega\) муодилаи (4.1) навъҳои гуногун дошта бошад, он гоҳ мегӯянд, ки дар соҳаи \(\Omega\) муодилаи (4.1) навъи омехта дорад.
Пас, муодилаҳои намуди (4.1) ҳангоми дар соҳа дида баромадан ба шаш навъ ҷудо мешаванд.
