Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ.  Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a₁b) и угол (a₂b) - данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a₁ и a₂ развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a₁b) и (a₂b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a₁b) и (c₁d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a₂b) и (c₂d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a₁b + a₂b = 180° и c₁d + c₂d = 180°. Отсюда, a₂b = 180° - a₁b и c₂d = 180° - c₁d. Так как углы (a₁b) и (c₁d) равны, то мы получаем, что a₂b = 180° - a₁b = c₂d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a₂b = c₂d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°,  x= 180° - 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т.е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения  перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a - данная прямая и A - данная точка на ней. Обозначим через a₁ одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a₁ угол (a₁b₁), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁.
Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.