Глава 3. Задача 7. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

Решение.

Решение а). Предположим, что опыт не окончится до шестого бросания. Это возможно, если при бросании монеты 5 раз будут следующие результаты:

Событие A = {герб, решка, герб, решка, герб};

или

Событие B = {решка, герб, решка, герб, решка}.

Вероятность выпадения герба при одном бросании равна $p = \frac{1}{2}$.

Вероятность выпадения решки при одном бросании равна $q = \frac{1}{2}$.

Вероятность события A равна

$P(A) = p\cdot q\cdot p\cdot q\cdot p = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$.

Вероятность события B равна

$P(B) = q\cdot p\cdot q\cdot p\cdot q = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$.

Так как события A и B несовместны, поэтому вероятность события {опыт не окончится до шестого бросания} равна (по теореме сложения)

$P(A+B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$.

События {опыт окончится до шестого бросания} и {опыт не окончится до шестого бросания} - противоположные.

Применяя теорему о сумме вероятностей противоположных событий, находим искомую вероятность

$P = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Ответ. а) 15/16; б) 2/3.