Глава 12. Задача 7. Непрерывная случайная величина \(X\) задана плотностью распределения \(f(x)\). Найти дифференциальную функцию \(g(y)\) случайной величины \(Y\), если:

а) \(Y = X + 1 \quad (-\infty < x < \infty)\);

б) \(Y = 2X \quad (-a < x < a)\).

Решение.

Если \(y = \varphi(x)\) - дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой \(x = \psi(y)\), то плотность распределения \(g(y)\) случайной величины Y находится с помощью равенства

\(g(y) = f[\psi(y)]|\psi'(y)|\qquad (*)\).

Решение а).

Так как функция \(y = x + 1\) дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу (*).

Найдем функцию, обратную функции \(y = x + 1\):

\(\psi(y) = x = y - 1\).

Найдем производную обратной функции по \(y\):

\(\psi'(y) = (y - 1)' = 1\).

Найдем искомую плотность распределения:

\(g(y) = f[\psi(y)]|\psi'(y)| = f(y-1)\cdot 1 = f(y-1)\).

\(x \rightarrow +\infty \implies y = x+1\rightarrow +\infty\)

\(x \rightarrow -\infty \implies y = x+1\rightarrow -\infty\)

Следовательно, искомая плотность распределения случайной величины Y равна

\(g(y) = f(y-1) \quad (-\infty < y < \infty)\).

Решение б).

Так как функция \(y = 2x\) дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу (*).

Найдем функцию, обратную функции \(y = 2x\):

\(\psi(y) = x = \frac{y}{2}\).

Найдем производную обратной функции по \(y\):

\(\psi'(y) = (\frac{y}{2})' = \frac{1}{2}\).

Найдем искомую плотность распределения:

\(g(y) = f[\psi(y)]|\psi'(y)| = f(\frac{y}{2})\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}f(\frac{y}{2})\).

\(x \rightarrow a \implies y = 2x\rightarrow 2a\).

\(x \rightarrow -a \implies y = 2x\rightarrow -2a\).

Следовательно, искомая плотность распределения случайной величины Y равна

\(g(y) = \frac{1}{2}f(\frac{y}{2}) \quad (-2a < y < 2a)\).

Ответ.

а) \(g(y) = f(y-1) \quad (-\infty < y < \infty)\);

б) \(g(y) = \frac{1}{2}f(\frac{y}{2}) \quad (-2a < y < 2a)\).