Вопрос 1. Что такое преобразование подобия?
Ответ. Преобразование фигуры \(F\) в фигуру \(F'\) называется преобразованием подобия, если при этом проеобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки \(X\), \(Y\) фигуры \(F\) при преобразовании подобия переходят в точки \(X'\), \(Y'\) фигуры \(F'\), то \(X'Y' = k\cdot XY\), причем число \(k\) - одно и то же для всех точек \(X\), \(Y\). Число \(k\) называется коэффициентом подобия. При \(k = 1\) преобразование подобия, очевидно, является движением.

Вопрос 2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
Ответ. Пусть \(F\) - данная фигура и \(O\) - фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку \(X\) фигуры \(F\) луч \(OX\) и отложим на нем отрезок \(OX'\), равный \(k\cdot OX\), где \(k\) - положительное число. Преобразование фигуры \(F\), при котором каждая ее точка \(X\) переходит в точку \(X'\), построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра \(O\). Число \(k\) называется коэффициентом гомотетии, фигуры \(F\) и \(F'\) называется гомотетичными.

Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

Доказательство. Пусть \(O\) - центр гомотетии, \(k\) - коэффициент гомотетии, \(X\) и \(Y\) - две произвольные точки фигуры (рис. 235).

При гомотетии точки \(X\) и \(Y\) переходят в точки \(X'\) и \(Y'\) на лучах \(OX\) и \(OY\) соответственно, причем \(OX' = k\cdot OX\), \(OY' = k\cdot OY\). Отсюда следуют векторные равенства

\(\overline{OX'} = k\overline{OX},\, \overline{OY'} = k\overline{OY}\).

Вычитая эти равенства почленно, получим:

\(\overline{OY'} - \overline{OX'} = k(\overline{OY} - \overline{OX})\).

Так как \(\overline{OY'} - \overline{OX'} = \overline{X'Y'}\), \(\overline{OY} - \overline{OX} = \overline{XY}\), то \(\overline{X'Y'} = k\overline{XY}\). Значит, \(|\overline{X'Y'}| = k|\overline{XY}|\), т.е. \(X'Y' = kXY\). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки \(A, B, C\), лежащие на одной прямой, переходят в три точки \(A_1, B_1, C_1\), также лежащие на одной прямой. Причем если точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), то точка \(B_1\) лежит между точками \(A_1\) и \(C_1\). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол \(ABC\) преобразованием подобия с коэффициентом \(k\) переводится в угол \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). Подвергнем угол \(ABC\) преобразованию гомотетии относительно его вершины \(B\) с коэффициентом гомотетии \(k\). При этом точки \(A\) и \(C\) перейдут в точки \(A_2\) и \(C_2\). Треугольники \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\). Значит, углы \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?

Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

Ответ. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: \(\sim\).

Запись \(F\sim F'\) читается так: "Фигура \(F\) подобна фигуре \(F'\)".

Запись подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Пусть \(k = \frac{AB}{A_1B_1}\). Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Далее, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) и \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle C_2 = \angle C_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Далее, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Пусть \(ABC\) - прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\). Проведем высоту \(CD\) из вершины прямого угла (рис. 243).

Треугольники \(ABC\) и \(CBD\) имеют общий угол при вершине \(B\). Следовательно, они подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\[\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD},\, или\, BC = \sqrt{AB\cdot BD}.\]

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.