Вопрос 1. Что такое преобразование подобия?
Ответ. Преобразование фигуры \(F\) в фигуру \(F'\) называется преобразованием подобия, если при этом проеобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки \(X\), \(Y\) фигуры \(F\) при преобразовании подобия переходят в точки \(X'\), \(Y'\) фигуры \(F'\), то \(X'Y' = k\cdot XY\), причем число \(k\) - одно и то же для всех точек \(X\), \(Y\). Число \(k\) называется коэффициентом подобия. При \(k = 1\) преобразование подобия, очевидно, является движением.

Вопрос 2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
Ответ. Пусть \(F\) - данная фигура и \(O\) - фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку \(X\) фигуры \(F\) луч \(OX\) и отложим на нем отрезок \(OX'\), равный \(k\cdot OX\), где \(k\) - положительное число. Преобразование фигуры \(F\), при котором каждая ее точка \(X\) переходит в точку \(X'\), построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра \(O\). Число \(k\) называется коэффициентом гомотетии, фигуры \(F\) и \(F'\) называется гомотетичными.

Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

Доказательство. Пусть \(O\) - центр гомотетии, \(k\) - коэффициент гомотетии, \(X\) и \(Y\) - две произвольные точки фигуры (рис. 235).

При гомотетии точки \(X\) и \(Y\) переходят в точки \(X'\) и \(Y'\) на лучах \(OX\) и \(OY\) соответственно, причем \(OX' = k\cdot OX\), \(OY' = k\cdot OY\). Отсюда следуют векторные равенства

\(\overline{OX'} = k\overline{OX},\, \overline{OY'} = k\overline{OY}\).

Вычитая эти равенства почленно, получим:

\(\overline{OY'} - \overline{OX'} = k(\overline{OY} - \overline{OX})\).

Так как \(\overline{OY'} - \overline{OX'} = \overline{X'Y'}\), \(\overline{OY} - \overline{OX} = \overline{XY}\), то \(\overline{X'Y'} = k\overline{XY}\). Значит, \(|\overline{X'Y'}| = k|\overline{XY}|\), т.е. \(X'Y' = kXY\). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки \(A, B, C\), лежащие на одной прямой, переходят в три точки \(A_1, B_1, C_1\), также лежащие на одной прямой. Причем если точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), то точка \(B_1\) лежит между точками \(A_1\) и \(C_1\). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол \(ABC\) преобразованием подобия с коэффициентом \(k\) переводится в угол \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). Подвергнем угол \(ABC\) преобразованию гомотетии относительно его вершины \(B\) с коэффициентом гомотетии \(k\). При этом точки \(A\) и \(C\) перейдут в точки \(A_2\) и \(C_2\). Треугольники \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\). Значит, углы \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?

Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

Ответ. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: \(\sim\).

Запись \(F\sim F'\) читается так: "Фигура \(F\) подобна фигуре \(F'\)".

Запись подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Пусть \(k = \frac{AB}{A_1B_1}\). Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Далее, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) и \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle C_2 = \angle C_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Далее, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Пусть \(ABC\) - прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\). Проведем высоту \(CD\) из вершины прямого угла (рис. 243).

Треугольники \(ABC\) и \(CBD\) имеют общий угол при вершине \(B\). Следовательно, они подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\[\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD},\, или\, BC = \sqrt{AB\cdot BD}.\]

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Вопрос 11. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Пусть \(ABC\) - прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\). Проведем высоту \(CD\) из вершины прямого угла (рис. 243).

Треугольники \(ACD\) и \(CBD\) подобны: \(\triangle ACD \sim \triangle CBD\). У них равны острые углы при вершинах \(A\) и \(C\). Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

\[\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD},\, или\, CD = \sqrt{AD\cdot BD}.\]

Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Вопрос 12. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Ответ. Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть \(CD\) - биссектриса треугольника \(ABC\) (рис.244). Если треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса \(CD\) является и медианой.

Рассмотрим общий случай, когда \(AC \neq BC\). Опустим перпендикуляры \(AF\) и \(BE\) из вершин \(A\) и \(B\) на прямую \(CD\).

Прямоугольные треугольники \(ACF\) и \(BCE\) подобны, так как у них равны острые углы при вершине \(C\). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{AF}{BE}.\]

Прямоугольные треугольники \(ADF\) и \(BDE\) тоже подобны. У них углы при вершине \(D\) равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AF}{BE} = \frac{AD}{BD}.\]

Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}\, или\, \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD},\]

т.е. отрезки \(AD\) и \(BD\) пропорциональны сторонам \(AC\) и \(BC\), что и требовалось доказать.

Вопрос 13. Что такое плоский угол?

Ответ. Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 245 заштрихован один из плоских углов со сторонами \(a\) и \(b\). Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной \(360\circ - \alpha\), где \(\alpha\) - градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 246).

Вопрос 14. Что такое центральный угол?

Ответ. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 247). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Вопрос 15. Какой угол называется вписанным в окружность?

Ответ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол \(BAC\) на рисунке 248 вписан в окружность. Его вершина \(A\) лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках \(B\) и \(C\). Говорят также, что угол \(A\) опирается на хорду \(BC\). Прямая \(BC\) разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку \(A\), называется центральным уголом, соответствующим данному вписанному углу.

Вопрос 16. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.

Ответ. Теорема 11.5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла..

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 249, а). Треугольник \(AOB\) равнобедренный, так как у него стороны \(OA\) и \(OB\) равны как радиусы. Поэтому углы \(A\) и \(B\) треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине \(O\), то угол \(B\) треугольника равен половине угла \(AOC\), что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра \(BD\) (рис. 249, б, в).

В случае, представленном на рисунке 249, б,

\[\angle ABC = \angle CBD + \angle ABD = \\ = \frac{1}{2}\angle COD + \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

В случае, представленном на рисунке 249, в,

\[\angle ABC = \angle CBD - \angle ABD = \\ = \frac{1}{2}\angle COD - \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

Теорема доказана полностью.

Вопрос 17. Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.

Ответ. Если хорды \(AB\) и \(CD\) окружности пересекаются в точке \(S\), то

\[AS \cdot BS = CS \cdot DS.\]

Докажем сначала, что треугольники \(ASD\) и \(CSB\) подобны (рис. 251). Вписанные углы \(DCB\) и \(DAB\) равны по следствию из теоремы 11.5. Углы \(ASD\) и \(BSC\) равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники \(ASD\) и \(CSB\) подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

\[\frac{DS}{BS} = \frac{AS}{CS}.\]

Отсюда

\[AS \cdot BS = CS \cdot DS,\]

что и требовалось доказать.

Если из точки \(P\) к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках \(A,\, B\) и \(C,\, D\) соответственно, то

\[AP \cdot BP = CP \cdot DP.\]

Пусть точки \(A\) и \(C\) - ближайшие к точке \(P\) точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники \(PAD\) и \(PCB\) подобны. У них угол при вершине \(P\) общий, а углы при вершинах \(B\) и \(D\) равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

\[\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}.\]

Отсюда \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\), что и требовалось доказать.