Вопрос 1. Докажите теорему косинусов.
Ответ. Теорема 12.1 (теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть \(ABC\) - данный треугольник (рис. 263). Докажем, что \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB\cdot AC \cdot\cos A\).
Имеем векторное равенство \(\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}.\) Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
\[\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC},\]
или
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.\]
Теорема доказана.
Вопрос 2. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон "\(\pm\)" удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак "+" или "-" ?
Ответ. Пусть \(ABC\) - данный треугольник (рис. 263).
Заметим, что \(AC\cdot\cos A\) равно по абсолютной величине проекции \(AD\) стороны \(AC\) на сторону \(AB\) (рис. 263, а) или ее продолжение (рис. 263, б). Знак \(AC\cdot\cos A\) зависит от угла \(A\): "+", если угол \(A\) острый, "-", если угол \(A\) тупой. Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон "\(\pm\)" удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак "+" надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак "-", когда угол острый.
Вопрос 3. Докажите теорему синусов.
Ответ. Теорема 12.2 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Пусть \(ABC\) - треугольник со сторонами \(a,\, b,\, c\) и противолежащими углами \(\alpha,\, \beta,\, \gamma\) (рис. 265). Докажем, что
\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}.\]
Опустим из вершины \(C\) высоту \(CD\). Из прямоугольного треугольника \(ACD\), если угол \(\alpha\) острый, получаем:
\(CD = b\sin\alpha\)
(рис. 265, а). Если угол \(\alpha\) тупой, то
\(CD = b\sin(180^\circ - \alpha) = b\sin\alpha\)
(рис. 265, б). Аналогично из треугольника \(BCD\) получаем
\(CD = a\sin\beta\).
Итак, \(a\sin\beta = b\sin\alpha\). Отсюда
\[\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}.\]
Аналогично доказывается равенство
\[\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}.\]
Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины \(A\).
Теорема доказана.
Вопрос 4. Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит большой угол и против большего угла лежит большая сторона.
Ответ. Пусть \(a\) и \(b\) - две стороны треугольника и \(\alpha,\, \beta\) - противолежащие им углы.
Докажем, что если \(\alpha > \beta\), то \(a > b\).
И обратно: если \(a > b\), то \(\alpha > \beta\).
Если углы \(\alpha\) и \(\beta\) острые (рис. 267, а), то при \(\alpha > \beta\) будет \(\sin\alpha > \sin\beta\). А так как
\[\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b},\]
то \(a > b\). Если угол \(\alpha\) тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол \(180^\circ - \alpha\) острый (рис. 267, б). Причем угол \(180^\circ - \alpha\) больше угла \(\beta\) как внешний угол треугольника, не смежный с углом \(\beta\). Поэтому \(\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)> \sin\beta\). И мы снова заключаем, что \(a > b\).
Докажем обратное утверждение. Пусть \(a > b\). Надо доказать, что \(\alpha > \beta\). Допустим, что \(\alpha \leq \beta\). Если \(\alpha = \beta\), то треугольник равнобедренный и \(a = b\). Если \(\alpha < \beta\), то по доказанному \(a < b\). В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению \(a > b\), значит, \(\alpha > \beta\), что и требовалось доказать.
