Задача № 52. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - ... + \frac{(-1)^{n-1}n}{n} \right|.\]
Решение.
Пусть \(n\) - четное число. Тогда существует \(k\) - такое, что \(n = 2k\).
Отсюда,
\[1 - 2 + 3 - 4 + ... + (2k-1) - 2k = \\ = \underbrace{(-1) + (-1) + ... +(-1)}_{k\, раз} = -k.\]
и
\[\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - \frac{4}{n} + ... + \frac{2k-1}{2k} - \frac{2k}{2k} = \\ = \frac{1-2+3-4+...+(2k-1)-2k}{2k} = \\ =\frac{-k}{2k} = -\frac{1}{2}.\]
Пусть \(n\) - нечетное число. Тогда существует \(k\) - такое, что \(n = 2k + 1\).
Отсюда,
\[1 - 2 + 3 - 4 + ... + (2k-1) - 2k + (2k+1) = \\ = \underbrace{(-1) + (-1) + ... +(-1)}_{k\, раз} + (2k+1) = \\ = -k + (2k+1) = k+1.\]
и
\[\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - \frac{4}{n} + ... + \frac{2k-1}{2k} - \frac{2k}{2k} = \\ = \frac{1-2+3-4+...+(2k-1)-2k+(2k+1)}{2k} = \\ =\frac{k+1}{2k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2k}.\]
Учитывая, что
\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0\),
получаем искомый предел последовательности
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - ... + \frac{(-1)^{n-1}n}{n} \right| = \frac{1}{2}.\]
Ответ. \(\frac{1}{2}\).
