Задача № 412. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x) - 1}{x}.\]

Решение.

\[(1+x)(1+2x)(1+3x) = (1+3x+2x^2)(1+3x) = \\ = 1+3x+2x^2 + 3x+9x^2+6x^3 = 1+6x+11x^2+6x^3\]

Отсюда,

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x) - 1}{x} = \\ = \lim\limits_{x\to 0}\frac{1+6x+11x^2+6x^3 - 1}{x} = \\ =\lim\limits_{x\to 0}\left(6+11x+6x^2\right) = 6 + 11\cdot 0 + 6\cdot 0^2 = 6.\]

Ответ. 6.