Вопрос 1. Сформулируйте свойства площади для простых фигур.

Ответ. Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником (рис. 294).

Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диагоналями, проведенными из какой-нибудь его вершины (рис. 295). Здесь мы рассматривает только плоские многоугольники и поэтому повторять каждый раз слово "плоский" не будем.

Дадим определение площади для простых фигур.

Для простых фигур площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) Равные фигуры имеют равные площади.

2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.

3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Если квадрат, о котором идет речь в определении, имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных метрах ($м^2$). Если сторона квадрата 100 м, то площадь будет в гектарах. Если сторона квадрат 1 км, то площадь будет в квадратных километрах, и т. п.

Вопрос 2. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Ответ. Найдем площадь прямоугольника со сторонами $a,\, b$. Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.

Пусть $ABCD$ и $AB_1C_1D$ - два прямоугольника с общим основанием $AD$ (рис. 296, а). Пусть $S$ и $S_1$ - их площади. Докажем, что $\frac{S}{S_1} = \frac{AB}{AB_1}$. Разобьем сторону $AB$ прямоугольника на большое число $n$ равных частей, каждая из них равна $\frac{AB}{n}$. Пусть $m$ - число точек деления, которые лежат на стороне $AB_1$. Тогда

$$\left(\frac{AB}{n}\right)m \leq AB_1 \leq \left(\frac{AB}{n}\right)(m+1).$$

Отсюда, разделив на $AB$, получим:

$$\frac{m}{n} \leq \frac{AB_1}{AB} \leq \frac{m}{n} + \frac{1}{n}. \quad (*)$$

Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию $AD$. Они разобьют прямоугольник $ABCD$ на $n$ равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь $\frac{S}{n}$. Прямоугольник $AB_1C_1D$ содержит первые $m$ прямоугольников, считая снизу, и содержится в $m+1$ прямоугольниках. Поэтому

$$\left(\frac{S}{n}\right)m \leq S_1 \leq \left(\frac{S}{n}\right)(m+1).$$

Отсюда

$$\frac{m}{n} \leq \frac{S_1}{S} \leq \frac{m}{n} + \frac{1}{n}. \quad (**)$$

Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа $\frac{AB_1}{AB}$ и $\frac{S_1}{S}$ заключены между $\frac{m}{n}$ и $\frac{m}{n} + \frac{1}{n}$. Поэтому они отличаются не более чем на $\frac{1}{n}$. А так как $n$ можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при $\frac{S_1}{S} = \frac{AB_1}{AB}$, что и требовалось доказать.

Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, $a$ и прямоугольник со сторонами $a,\, b$ (рис. 296, б). Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь:

$$\frac{S'}{1} = \frac{a}{1}\, и \, \frac{S}{S'} = \frac{b}{1}.$$

Перемножая эти равенства почленно, получим:

$$S = ab.$$

Итак, площадь прямоугольника со сторонами $a,\, b$ вычисляется по формула $S = ab$.

Вопрос 3. Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Ответ. Пусть $ABCD$ - данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов - $A$ или $B$ - острый. Пусть для определенности угол $A$ острый, как изображено на рисунке 297.

Опустим перпендикуляр $AE$ из вершины $A$ на прямую $CD$. Площадь трапеции $ABCE$ равна сумме площадей параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ADE$.

Опустим перпендикуляр $BF$ из вершины $B$ на прямую $CD$. Тогда площадь трапеции $ABCE$ равна сумме площадей прямоугольника $ABFE$ и треугольника $BCF$.

Прямоугольные треугольники $ADE$ и $BCF$ равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади прямоугольника $ABFE$, т.е. равна $AB\cdot BF$.

Отрезок $BF$ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам $AB$ и $CD$.

Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Вопрос 4. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Ответ. Пусть $ABC$ - данный треугольник (рис. 298). Дополним этот треугольник до параллелограмма $ABCD$, как указано на рисунке. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $CDA$. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ABC$. Высота параллелограмма, соответствующая стороне $AB$, равна высоте треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Отсюда следует, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту:

$$S = \frac{1}{2}ah.$$

Вопрос 5. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.

Ответ. Докажем, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.

Пусть $ABC$ - данный треугольник (рис. 299). Докажем, что

$$S = \frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A.$$

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BD$. Имеем

$$S = \frac{1}{2}AC\cdot BD.$$

Из прямоугольного треугольника $ABD$ $BD = AB\cdot \sin\alpha$, если угол $\alpha$ острый (рис. 299, а), $BD = AB\sin(180^\circ - \alpha)$, если угол $\alpha$ тупой (рис. 299, б). Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, то в любом случае $BD = AB\cdot \sin\alpha$. Следовательно, площадь треугольника $S = \frac{1}{2}AC\cdot AB\cdot \sin A$, что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Ответ. Пусть $ABCD$ - данная трапеция (рис. 300). Диагональ трапеции $AC$ разбивает ее на два треугольника: $ABC$ и $CDA$. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{1}{2}AB\cdot CE$, площадь треугольника $ACD$ равна $\frac{1}{2}DC\cdot AF$. Высоты $CE$ и $AF$ этих треугольников равны расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Это расстояние называется высотой трапеции.

Следовательно, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2}\cdot h$.

Вопрос 7. Как относятся площади подобных фигур?

Ответ. Пусть $F'$ и $F''$ - две подобные простые фигуры. Выясним, как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны, то существует преобразование подобия, при котором фигура $F'$ переходит в фигуру $F''$.

Разобьем фигуру $F'$ на треугольники $\triangle'_1$, $\triangle'_2$, $\triangle'_3$, ... (рис. 303). Преобразование подобия, переводящее фигуру $F'$ в $F''$, переводит эти треугольники в треугольники $\triangle''_1$, $\triangle''_2$, $\triangle''_3$, ... разбиения фигуры $F''$. Площадь фигуры $F'$ равна сумме площадей треугольников $\triangle'_1$, $\triangle'_2$, ..., а площадь фигуры $F''$ равна сумме площадей треугольников $\triangle''_1$, $\triangle''_2$, ... .

Если коэффициент подобия равен $k$, то размеры треугольника $\triangle''_n$ в $k$ раз больше соответствующих размеров треугольника $\triangle'_n$. В частности, стороны и высоты треугольника $\triangle''_n$ в $k$ раз больше соответствующих сторон и высот треугольника $\triangle'_n$. Отсюда следует, что

$$S(\triangle''_n) = k^2S(\triangle'_n).$$

Складывая эти равенства почленно, получим:

$$S(F'') = k^2S(F').$$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров фигур $F''$ и $F'$. Поэтому площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Вопрос 8. Выведите формулу площади круга.

Ответ. Если фигура простая, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольников, то ее площадь равна сумме площадей этих треугольников. Для произвольной фигуры площадь определяется следующим образом.

Данная фигура имеет площадь $S$, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от $S$. Применим это определение к нахождению площади круга.

Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом (рис. 304).

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

Докажем это. Построим два правильных $n$-угольника: $P_1$ - вписанный в круг и $P_2$ - описанный около круга (рис. 305). Многоугольники $P_1$ и $P_2$ являются простыми фигурами. Многоугольник $P_2$ содержит круг, а многоугольник $P_1$ содержится в круге.

Радиусы, проведенные в вершины многоугольника $P_1$, разбивают его на $n$ треугольников, равных треугольнику $AOD$. Поэтому

$$S_{P_1} = n S_{AOD}.$$

Так как $S_{AOD} = AC\cdot OC = AC\cdot AO\cdot \cos\alpha$, то

$$S_{P_1} = (nAC)AO\cos\alpha = \frac{pR}{2}\cos\alpha,$$

где $p$ - периметр многоугольника $P_1$, $R$ - радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника $P_2$:

$$S_{P_2} = nS_{BOF},$$

$$S_{BOF} = AB\cdot AO = \frac{AC}{\cos\alpha}\cdot AO,$$

$$S_{P_2} = \frac{(nAC)AO}{\cos\alpha} = \frac{pR}{2\cos\alpha}.$$

Итак, многоугольник $P_1$, содержащийся в круге, имеет площадь

$$S_{P_1} = \frac{pR}{2}\cos\alpha,$$

а многоугольник $P_2$, содержащий круг, имеет площадь

$$S_{P_2} = \frac{pR}{2\cos\alpha}.$$

Так как при достаточно большом $n$ периметр $p$ отличается сколь угодно мало от длины $l$ окружности, а $\cos\alpha$ сколь угодно мало отличается от единицы, то площади многоугольников $P_1$ и $P_2$ сколь угодно мало отличаются от $\frac{lR}{2}$. Согласно определению это значит, что площадь круга

$$S = \frac{lR}{2} = \pi R^2,$$

что и требовалось доказать.

Вопрос 9. По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента?

Ответ. Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 306).

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле

$$S = \frac{\pi R^2}{360}\alpha,$$

где $R$ - радиус круга, а $\alpha$ - градусная мера соответствующего центрального круга.

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости (рис. 307).

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле

$$S = \frac{\pi R^2}{360}\alpha\pm S_{\triangle},$$

где $\alpha$ - градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а $S_\triangle$ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак "-" надо брать, когда $\alpha < 180^\circ$, а знак "+" надо брать, когда $\alpha > 180^\circ$.