Задача № 151. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \frac{x^2}{1+x}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Так как деление на ноль не определено, то знаменатель данной функции не должен быть равен 0:

\(x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1\).

Следовательно, областью определения заданной функции является действительная ось с выколотой точкой (-1):

\(D(f) = \{x\in\Bbb R \mid x\neq -1\}\) или \((-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)\).

Ответ. \(D(f) = \{x\in\Bbb R \mid x\neq -1\}\) или \((-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)\).