№ 3. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа (n) справедливо следующее равенство:
\(1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2\).

Решение. При \(n=1\) равенство верно:
\(1^3=1^2\),
\(1=1\).

Теперь предполагая верность равенства при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число):
\(1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2\),
покажем его верность при \(n=k+1\):
\((1+2+...+k+(k+1))^2=\)
\((1+2+...+k)^2+2(1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^2=\)
\(=1^3+2^3+...+k^3+2\cdot\frac{k(k+1)}{2}\cdot(k+1)+(k+1)^2=\)
\(=1^3+2^3+...+k^3+k(k+1)^2+(k+1)^2=\)
\(=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^2\cdot(k+1)=\)
\(=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3\),
т.е.
\(1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...+k+(k+1))^2\).

Что и требовалось доказать.