№ 5. Пусть \(a^{[n]}=a(a-h)...[a-(n-1)h]\) и \(a[0]=1\).
Доказать, что
\((a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{[n-m]}b^{[m]}\),
где \(C_{n}^{m}\) - число сочетаний из \(n\) элементов по \(m\). Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.
Решение. Напомним, что \(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) и \(n!=1\cdot2\cdot...\cdot n\).
Равенство верно при \(n=1\):
\(\sum_{m=0}^{1}C_{1}^{m}a^{[1-m]}b^{[m]}=C_{1}^{0}a^{[1]}b^{[0]}+C_{1}^{1}a^{[0]}b^{[1]}=a+b=(a+b)^{[1]}\)
Предположим, что при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число) равенство верно:
\((a+b)^{[k]}=\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}a^{[k-m]}b^{[m]}\)
и покажем его верность при \(n=k+1\):
\((a+b)^{[k+1]}=(a+b)^{[k]}\cdot(a+b-kh)=(\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}a^{[k-m]}b^{[m]})\cdot(a+b-kh)=\)
\(=(C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}+...+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]})\cdot(a+b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}(a+b-kh)+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(a+b-kh)+...+\)
\(C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(a+b-kh)+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}(a+b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}(a-kh+b)+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(a-(k-1)h+b-h)+...+\)
\(+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(a-h+b-(k-1)h)+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}(a+b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}(a-kh)+C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}b+\)
\(+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(a-(k-1)h)+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(b-h)+...+\)
\(+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(a-h)+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(b-(k-1)h)+\)
\(+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}a+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}(b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k+1]}b^{[0]}+C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[1]}+C_{k}^{1}a^{[k]}b^{[1]}+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[2]}+...+\)
\(+C_{k}^{k-1}a^{[2]}b^{[k-1]}+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k]}+C_{k}^{k}a^{[1]}b^{[k]}+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k+1]}=\)
\(=C_{k+1}^{0}a^{[k+1]}b^{[0]}+C_{k+1}^{1}a^{[k]}b^{[1]}+...+C_{k+1}^{k}a^{[1]}b^{[k]}+C_{k+1}^{k+1}a^{[0]}b^{[k+1]}=\)
\(=\sum_{m=0}^{k+1}C_{k+1}^{m}a^{[k+1-m]}b^{[m]}\),
т.е.
\((a+b)^{[k+1]}=\sum_{m=0}^{k+1}C_{k+1}^{m}a^{[k+1-m]}b^{[m]}\),
Равенство доказано.
Из доказанного равенства при \(h=1\) вытекает бином Ньютона.
Следует отметить, что при доказательстве использованы следующие равенства:
\(C_{n}^{0}=C_{n+1}^{0}=C_{n}^{n}=C_{n+1}^{n+1}=1\),
\(C_{n+1}^{m+1}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m+1}\).
