№ 8. Доказать неравенство
$(1) \quad n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\quad\text{при}\quad n>1.$

Указание. Использовать неравенство
$\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>2\quad (n=1, 2, ...)$.

Решение. Иcпользуя неравенство, доказанное в задаче 7, имеем:
$\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>1+(n+1)\cdot \frac{1}{n+1}=1+1=2$,
$\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}>2\quad (n=1, 2, ...)$.
Отсюда вытекает неравенство, которое нам понадобиться при доказательстве неравенства (1):
$\begin{equation} 2(n+1)^{n+1}<(n+2)^{n+1}\quad (n=1, 2, ...). \end{equation}$

Проверим верность неравенства (1) при $n=2$:
$\left(\frac{2+1}{2}\right)^2=(1,5)^2=2,25>2=2!$,
$2!<\left(\frac{2+1}{2}\right)^2$

Пусть при $n=k$ ($k$ - натуральное число) неравенство (1) верно:
$\begin{equation} k!<\left(\frac{k+1}{2}\right)^k. \end{equation}$

Теперь докажем его верность при $n=k+1$.
$(k+1)!=k!(k+1)<\left(\frac{k+1}{2}\right)^k(k+1)==\left(\frac{k+1}{2}\right)^k\frac{k+1}{2}\cdot2=$
$=2\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}=2\cdot\frac{(k+1)^{k+1}}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}\cdot2\cdot(k+1)^{k+1}<$
$<\frac{1}{2^{k+1}}\cdot(k+2)^{k+1}=\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}$,
т.е.
$(k+1)!<\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}$.

Неравенство доказано.