№ 10.1. в) Доказать неравенство
\((1) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k\right)\right| \leq \sum\limits_{k=1}^n\sin x_k \quad (0 \leq x_k \leq \pi; \quad k=1,2, ..., n).\)
Решение.Для доказательства неравенства (1) воспользуемся методом математической индукции.
Покажем, что при \(n=1\) неравенство (1) верно. Для любого \(x \in [0;\pi]\) значение \(\sin x \geq 0\), то есть \( \left|\sin x \right| = \sin x\). Следовательно,
\((2) \quad \left|\sin x_1 \right| \leq \sin x_1 \quad (0 \leq x_1 \leq \pi)\).
Что и требовалось показать.
Теперь предположим, что неравенство (1) верно при \(n=m\):
\((3) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^mx_k\right)\right| \leq \sum\limits_{k=1}^m\sin x_k \quad (0 \leq x_k \leq \pi; \quad k=1,2, ..., m).\)
и покажем, что оно также верно при \(n=m+1\):
\((4) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m+1}x_k\right)\right| \leq \sum\limits_{k=1}^{m+1}\sin x_k \quad (0 \leq x_k \leq \pi; \quad k=1,2, ..., m+1).\)
Так как \(\sum\limits_{k=1}^{m+1}x_k = \sum\limits_{k=1}^{m}x_k + x_{m+1}\), то воспользовавшись формулой синуса суммы двух углов:
\(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\),
получаем, что
\(\begin{multline}
(5) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m+1}x_k\right)\right| = \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k + x_{m+1}\right)\right| =\\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \cos x_{m+1} + \cos\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \sin x_{m+1}\right| \leq \\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \cos x_{m+1}\right| + \left|\cos\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \sin x_{m+1}\right| =\\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| \cdot \left|\cos x_{m+1}\right| + \left|\cos\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| \cdot \left|\sin x_{m+1}\right| \leq\\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| \cdot 1 + 1 \cdot \left|\sin x_{m+1}\right|=
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| + \left|\sin x_{m+1}\right| \leq \\
\sum\limits_{k=1}^m\sin x_k + \sin x_{m+1} = \sum\limits_{k=1}^{m+1}\sin x_k.
\end{multline}\)
В выкладке (5) использованы следующие свойства действительных чисел:
\(|x+y| \leq |x| + |y|\)
и
\(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\).
Последнее неравенство в (5) верно в силу предположения (3) и свойства (2).
Из (5) вытекает верность (4).
Неравенство (1) доказано.
