Задача № 162. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = (x + |x|)\sqrt{x\sin^2\pi x}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Область определения функции \(y = \sqrt{x}\) есть промежуток \([0, +\infty)\).

Таким образом, получаем следующее неравенство:

\[x\sin^2\pi x \geq 0.\]

Очевидно, что для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих двух условий:

1) \(x \geq 0 \implies x\sin^2\pi x \geq 0\).

2) \(x = k \; (k = -1, -2, ...) \implies k \cdot \sin^2\pi k = k \cdot 0 = 0\).

Следовательно, область определения заданной функции состоит из объединения следующих множеств:

\[\left\{x\in\Bbb Z\, : \, x < 0\right\}\]

и

\[\left\{x\in\Bbb R\, : \, x \geq 0\right\}.\]

Ответ. \(x = -1, -2, ...\) и \(x\geq 0\).