Задача № 424.1. Найти значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}.\]
Решение.
Число 1 является корнем многочлена \(x^{100} - 2x + 1\). Действительно,
\[1^{100} - 2\cdot 1 + 1 = 1-2+1 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^{100} + 0x^{99} + ... + 0x^2 - 2x + 1\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | ... | 0 | -2 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | ... | 1 | -1 | 1 |
Получаем, что
\[x^{100} - 2x + 1 = (x-1)(x^{99}+x^{98}+...+x-1).\]
Число 1 является корнем многочлена \(x^{50} - 2x + 1\). Действительно,
\[1^{50} - 2\cdot 1 + 1 = 1-2+1 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^{50} + 0x^{49} + ... + 0x^2 - 2x + 1\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | ... | 0 | -2 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | ... | 1 | -1 | 1 |
Получаем, что
\[x^{50} - 2x + 1 = (x-1)(x^{49}+x^{48}+...+x-1).\]
Таким образом,
\[\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1} = \\ = \frac{(x-1)(x^{99}+x^{98}+...+x-1)}{(x-1)(x^{49}+x^{48}+...+x-1)} = \\ = \frac{x^{99}+x^{98}+...+x-1}{x^{49}+x^{48}+...+x-1}.\]
Следовательно, искомый предел равен
\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1} = \\ = \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{99}+x^{98}+...+x-1}{x^{49}+x^{48}+...+x-1} = \\ = \frac{99 - 1}{49 - 1} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24} = 2\frac{1}{24}.\]
Ответ. \(2\frac{1}{24}\).
